Limit ve integralin değişimi

Question

İzin Vermek $f_m(x) =\lim_{n\rightarrow \infty}\cos(\pi m!x))^{2n}$; bunun bir Lebesgue ve Riemann integrallenebilir fonksiyonu olduğunu biliyoruz ve$g(x)=\lim_{m\rightarrow \infty} f_m(x)$Riemann integrallenemez ama Lebesgue integrallenebilir. Bilmek istiyorum eğer$$\lim_{m\rightarrow \infty}\int_0^1f_m(x)dx = \int_0^1\lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x)dx$$ Bunun monoton yakınsama teoremini kullanmak olduğunu kanıtlamanın bir yolunu biliyorum, ancak burada kullanabileceğimi sanmıyorum. $f_m(x)$monoton değildir. Biri bana yardım edebilir mi?

Answer 1

Kosinüsü sınırlı bir fonksiyon olarak düşünürsek, sonlu bir aralıkta Lebesgue integrallenebilir olan Dominated Convergence Teoremini sabit bir fonksiyonla uygulamak önemsizdir. İfade daha sonra takip eder