Limitler ve çift katlı integral?

Question

Çift katlı integrali belirle $\int \int_{R} ye^y dxdy$, nerede $R$ dır-dir $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Sınırları aşmak için nasıl düşünmem gerektiğini anlamakta güçlük çekiyorum.

$x\ne y$ çünkü $1\leq xy \leq 2$.

$x$ o zaman en az 1 büyük olmalıdır $y$ Çünkü $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Bu bana ver $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Bu yüzden sınırların olduğunu söyleyebilir miyim? $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

İki bölgeyi entegre etmelisiniz. Kesişme noktaları

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Bizde var $R$ çizgiler arasındaki şeride karşılık gelir

• $y=x-2$
• $y=x-1$

ve hiperboller

• $y=2/x$
• $y=1/x$

İlerlemenin bir yolu, bu bölgeler için kesişme noktalarını bulmak ve ardından her parça için buna göre entegre etmektir.