Modüller üzerindeki kafesler

Question

Kafeslerin standart yapısı $\mathbb{R}^n$ herhangi bir sonlu boyutlu vektör uzayını alarak genelleştirilebilir $V$ bir tarla üzerinde $F$ ve bir alt ring $R$ nın-nin $F$Wikipedia'ya göre (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Burada sadece sonlu boyutlu vektör uzaylarının dikkate alınması ve sonlu dereceli serbest modüller olmaması için herhangi bir sebep var mı? Kafes hala bir ilave alt grup oluşturmalıdır ve bence bazların izomorfik kafesler verme özelliği de aynı olmalıdır. Kaçırdığım bu genellemede kaybolan önemli bir özellik var mı?

Answer 1

Kafesler teorisinin önemli bir özelliği, aldığınız iç çarpımdır. $\mathbb{R}^n$yanı sıra hacim gibi ilgili nesneler.

İlginç ve faydalı teoremlerin çoğu cebirsel ve geometrik yapılar arasındaki etkileşimden gelir, örneğin Minkowski teoremi ve sayıların geometrisine uygulanması. En kısa vektör problemi gibi şeyler hakkında konuşmak için bir norma ihtiyaç duyulduğundan, geometri kriptografideki uygulamaları için de önemlidir .

Kafesler için eşdeğer bir tanım, onları ücretsiz olarak tanımlamaktır. $\mathbb{Z}$ikinci dereceden bir formla donatılmış modül. Aşağıdaki genelleme, Ebeling'in "Kafesler ve Kodlar" ın 3. sayfasında yer almaktadır.

Tanım: Let$R$birliği olan değişmeli bir halka olun. Simetrik bir çift doğrusal form modülü$(S,b)$ bitmiş $R$ ücretsiz oluşan bir çift $R$-modül $S$ rütbe $n$ve simetrik bir çift doğrusal form $b : S \times S \to R$.

Öneri 1.1 (Ebeling) yekpare kafesler içinde$\mathbb{R}^n$ (her iç çarpımın bir tam sayı olduğu kafesler), tamsayılar üzerinde simetrik çift doğrusal form modülleridir; burada $b$ pozitif tanımlı simetrik çift doğrusal bir formdur.

Metin, simetrik çift doğrusal form modüllerinin $\mathbb{Z}$ pozitif tanımlı özelliği olmadan 4. bölümde incelenmiştir ve tamsayı halkaları üzerindeki örnekler 5. bölümde incelenmiştir. Bunları incelemek ilginç bulabilirsiniz.