Morrie kanunu sinüslerle

Question

Kanıtlamak önemsizken $\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx)=\frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin x}$Wikipedia "benzer" bir kimliğe atıfta bulunuyor $\sin\tfrac{\pi}{9}\sin\tfrac{2\pi}{9}\sin\tfrac{4\pi}{9}=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Bu, bir sonuca nasıl genellenir$\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$? Aksi takdirde, bu özel durumu nasıl kanıtlarız?

Answer 1

Size benzer kimliğin bir kanıtını gösterebilirim, ancak genel bir formül bilmiyorum $\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$.

Göstermeye Göre$\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}} = \frac{\sqrt{13}}{64}$bizde var $$\prod _{k=1}^{n-1}\,\sin \left({\frac {k\pi }{n}} \right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$ İçin $n=9$simetri ile buna sahibiz $$\left(\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)\right)^2\underbrace{\sin^2\left({\frac {\pi }{3}}\right)}_{3/4}=\prod _{k=1}^{8}\,\sin \left({\frac {k\pi }{9}} \right)=\frac{9}{256} $$ ve bunu takip eder $$\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)=\sqrt{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt{3}}{8}.$$ Benzer şekilde $n=7$bunu gösteriyoruz $$\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{7}}\right)=\frac{\sqrt7}{8}.$$