Neden ki $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

A kare olmayan bir matris olsun. Aşağıdaki eşitlik neden doğrudur?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Girişim:

Bir kare matrisin özdeğerinden beri $X$, özdeğerinin tersidir $X^{-1}$, sahibiz:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Aşağıdakilere sahibim:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

Kanıtlamak istediğiniz şey oldukça basittir ve sadece formdakiler için değil, tüm kare matrisler için geçerlidir. $A^TA$. $\nu$ bir özdeğerdir $P$ iff $1-\nu$ bir özdeğerdir $I-P$. Böylece, herhangi bir özdeğer$I-P$ formda $\nu=1-\lambda$ nerede $\lambda$ bir özdeğerdir $P$. Minimum almak,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ dan beri $1-\lambda$ küçültüldüğünde $\lambda$ maksimumdur.