ODE için çözümün varlığını kanıtlamak $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Question

İzin Vermek $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ ile iki kez ayırt edilebilir olmak $f'' > 0$ve izin ver $u_- > u_+$gerçek sayılar olabilir. Bir çözüm olduğunu gösterin$\varphi(x)$ aşağıdaki diferansiyel denkleme: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ öyle ki $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, ve nerede $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.

---

İlk denemem, bu DE'nin aşağıdakilere güzel bir şekilde entegre edilebileceğini gözlemlemek: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Bu nedenle, seçmekte özgür olduğumuz bu DE için bir çözümün varlığını göstermek yeterlidir. $C$. RHS'yi LHS'ye getirmeye çalıştım, bu da:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ nerede $D \in \Bbb{R}$. Dolayısıyla, eğer tanımlarsak:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ ve varsayarsak $g$ tersinir, o zaman $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ bir çözüm olabilir $(2)$. Ancak, bu yaklaşımda ele almamız gereken birkaç sorun var:

1. İntegral eğer bir anlam ifade etmeyecek $f(\varphi) - s\varphi + C$ bir noktada kaybolur $\Bbb{R}$. Seçmekte özgür olduğumuz gibi$C$eğer bunu gösterebilirsek $f(\varphi) - s\varphi$ ya yukarıdan ya da aşağıdan sınırlanır, sonra böyle bir seçim $C$var olacak. Dışbükeyliği ve tanımını kullanabileceğimizden şüpheleniyorum$s$ bunu ispatlamak için, ancak şimdiye kadarki girişimlerim boşuna.
2. İntegral mantıklıysa, başka bir sorun şudur: $g$ters çevrilebilir. Ancak, bu FTOC'de olduğu gibi bir sorun olmamalıdır:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ yani payda kaybolmazsa, $g'$ süreklidir ve bu nedenle kesinlikle olumlu veya olumsuz olmalıdır, bu nedenle $g$ kesinlikle tek tonludur, dolayısıyla tersinir.
3. Buradaki en büyük sorun, bu tanımın aşağıdakilerin gerekliliğini garanti etmemesidir. $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. İntegrali bu koşula uyacak şekilde değiştirmeye çalıştım, ancak şu ana kadar boşuna.

Picard'ın yinelemesini kullanmak gibi başka yaklaşımları da denedim, ancak bu sorun gerçekten bir IVP olmadığı için başarılı olamadılar.

Herhangi bir yardım takdir edilmektedir.

Answer 1

Sınırları kullanarak $\pm\infty$, bulduk $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$Evans PDE'deki bu alıştırmaya bakın . Sıkı dışbükeylik arasında$\varphi\mapsto \varphi'$ katı dışbükeylikten izler $f''>0$ nın-nin $f$. Bu özellik,$\varphi' < 0$ için $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Bu nedenle,$\varphi$ düzgün bir azaltma işlevidir. $u_-$ -e $u_+$. Araştırmak stabilite denge$\varphi = u_\pm$, türevin işaretini hesaplıyoruz $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ dengede, negatif olan $\varphi = u_+$ ve olumlu $\varphi = u_-$sıkı dışbükeylik nedeniyle. Bu nedenle,$u_+$ çekici bir denge ve $u_-$itici bir dengedir. Rhs'den beri. Yukarıdaki diferansiyel denklemin tümü tekil değildir ve ek köklere sahip değildir, herhangi bir sınırlı çözüm mutlaka her iki değeri birbirine bağlayacaktır$u_\pm$ pürüzsüz bir azaltma işlevi ile $\varphi$. İntegrand$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ sınırlarda tekildir $\varphi = u_\pm$. Bu uygunsuz integralin yakınsaması , sınırlardaki asimptotik davranışından kaynaklanır.