Olasılık sorusunda yakınsama.

Question

İzin Vermek $\lambda_n = 1/n$ için $n=1,2,\ldots$. İzin Vermek$X_n \sim Poi(\lambda_n)$. Gösterin a)$X_n \rightarrow_P 0$. b) Bırak$Y_n = nX_n$. Olduğunu göstermektedir$Y_n \rightarrow_P 0$ (nerede $\rightarrow_{P}$ Olasılıkta yakınsamayı belirtir)

Bölüm a), bildiğimiz için nispeten basittir. $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ ve $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$. O zamandan beri biliyoruz$X_n >0$ o $|X_n| = X_n$. Sonra Chebyshevs eşitsizliğinden bunu biliyoruz$$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

Bölüm b) için aynı yaklaşımı kullanamam $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$. Ayrıca ikinci dereceden ortalamadaki yakınsamanın olasılıkta yakınsama anlamına geldiğini biliyorum ama$\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ gibi $n \rightarrow \infty$. Herhangi bir fikir?

Answer 1

Karakteristik işlevlere (henüz) aşina değilseniz, şu gerçeği kullanabilirsiniz: $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ Poisson dağılımı, içindeki değerlere sahip ayrı bir dağılım olduğundan $\mathbb{N} \cup \{0\}$

Answer 2

Bunu kanıtlamanın bir yolu $nX_n \to 0$olasılıkla karakteristik fonksiyonları kullanmaktır. Hatırlamak$Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$. Bu nedenle$Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ gibi $ n \to \infty$. Bu şu anlama gelir$nX_n \to 0$ olasılıktaki yakınsamaya eşdeğer olan dağılımda.