Olduğunu göstermektedir $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ nerede $V_\lambda$ Specht modülü ve $U$ işaret temsilidir $S_n$.

Question

Bu Fulton / Harris Temsil Teorisinde Alıştırma 4.4 (c). Tanımların çoğu burada bulunabilir:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. İzin Vermek$\lambda \vdash n$. Specht modülü$V_\lambda$ indirgenemez temsilidir $S_n$ görüntü ile tanımlanmış $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ nın-nin $c_\lambda$ dır-dir $\mathbb{C}[S_n]$ nerede $c_\lambda$Genç simetriktir. Bunu göstermek istiyorum$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ nerede $U$ işaret temsilidir ve $\lambda'$ bölümüdür $n$ eşlenik $\lambda$. Grup cebirinin bir alt modülü olarak$\mathbb{C}[S_n]$, sahibiz $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

Bunu göstermeme yardım eden var mı? Tanımlamam gerek$\mathbb{C}[S_n]$modül izomorfizmi ancak Specht modülünün öğelerinin neye benzediğini gerçekten anlamıyorum. Polytabloids kullanan bir ispat gördüm, örneğin James'te, ancak Specht modüllerinin yapısını bunun yerine grup cebirinin alt modülleri olarak anlamaya çalışıyorum.

Answer 1

İzin Vermek $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ permütasyon gönderen doğrusal harita olabilir $\sigma$ -e ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. Bu bir cebir otomorfizmidir$\mathbb{C}[S_n]$ Specht modülünü eşleyen $\lambda$ buna devrik için $\lambda'$. İpucu: Bu harita mı$S_n$- farklı mı? Değilse, bunu nasıl düzeltebilirsin?

Answer 2

Abdelmalek Abdesselam'ın ipucunu takiben, önce $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ üzerinden $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$ve doğrusal uzantı. Bir cebir otomorfizmidir.$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Hepsi için$\pi,\sigma \in S_n$, sahibiz \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Şimdi bir harita tanımlayın $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ üzerinden $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$ve doğrusal uzantı. Eş alan adı şu tarihten beri doğrudur:$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Bu harita$S_n$-kendinden beri değişkendir $\pi,\tau \in S_n$ ve $u\in U$Elimizdeki \ rho {hizalama *} başlamak \ (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & def (\ metni {. arasında$S_n$-İç tensör ürünü üzerinde eylem}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {beri $U$ işaret temsilidir}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {hizala *}