Özdeğerleri $A^{2018}$

Question

Özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun $A^{2018}$. $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

---

Çözümüm:

İlk olarak, ikinci satırdan ilk satırı üç kez çıkararak şunu elde ederiz: $$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

Üst üçgen matrisi başardık, böylece karakteristik polinom: $$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

Bu nedenle, özdeğerler kümesi $\{1,4^{2018},8^{2018},\}$.

---

Lütfen bunun doğru çözüm olup olmadığını kontrol edin ve değilse doğru olanı bulmama yardım edin.

Answer 1

Sizin matirxiniz nispeten kolay (simetrik) ve üstelsıfır bir matrisin toplamıdır ve bunlar işe gidip gelir. $N$ çifti dışında sıfırdır $4$ pozisyonlarda $(1,3)$ ve $(2,3).$ Simetrik olanı ara $S$güzel köşegenleştirilebilir. çünkü işe gidip geliyorlar$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$ O zamandan beri orada duruyor $N^2 = 0.$

Sadece bunu tahmin ettim, tek gereken açık $P^{-1} S P = D.$ Gerçekten gerekli değil $P$ortogonal olun. Aslında yaptığım şey

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

nerede $PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $ Böylece $S = PDP^T.$ Böylece $S^{n} = P D^n P^T$ hepsi için $n \geq 1$

$S+N$Jordan Chevalley ayrıştırması olarak adlandırılır, bazen Jordan kanonik biçiminden çok daha kolaydır. Bu sefer pek farklı değil

Answer 2

İpucu: Karakteristik polinom, $c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$.

Ürdün normal formunun olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. $B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$.

Sonra $A^n$ benzer $B^n$.

Fakat $B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$.

Böylece anlıyoruz $\{4^n,(-2)^n\}$ özdeğerler olarak.