Permütasyon grubu ürünü

Question

İzin Vermek $E,F$ iki vektör uzayı olmak ve $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$ a $p$-doğrusal harita. Eğer$\sigma$ bir permütasyondur $S_{p}$o zaman başka birini tanımlayabiliriz $p$-doğrusal harita $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$ tarafından: $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Şimdi, kitabım diyor ki eğer $\tau, \sigma$ iki permütasyondur, o zaman: $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ Ancak hesaplarıma göre: $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ dan beri $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. Hatam nerede

Answer 1

Yazarken bir hata var

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Var

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Bu nedenle kitabınızın eşitliği $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

Genel olarak doğru değil $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ - bu sadece aşağıdaki durumlarda geçerlidir $\tau$ ve $\sigma$ işe gidip gelmek $S_p$. Örneğin al$p=3$, $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. Sonra$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

Doğru olan, değerlendirirken $\sigma\tau\phi$ (örneğin), önce başvurabilirsiniz $\tau$ -e $\phi$ ve sonra nihayet uygula $\sigma$veya önce başvurabilirsin $\sigma$ -e $\tau$ ve sonra bu birleşik permütasyonu uygulayın ($\sigma\tau$) için $\phi$.