Picard grubu vs sınıf grubu
Soru.
İzin Vermek $R$değişmeli bir halka olun. İzin Vermek$M$ fasulye $R$-modülün var olduğu özelliğe sahip bir $R$-modül $N$ öyle ki $M\otimes_R N\cong R$. Her zaman bir ideal var mı$I$ nın-nin $R$ öyle ki $M$ izomorfiktir $I$ olarak $R$-modül? (Bu genellikte olmadığından şüpheleniyorum)
Arkaplan.
İzin Vermek $R$değişmeli bir halka olun. İşte birinin ilişkilendirilebileceği iki grup$R$.
- "Sınıf grubu".
İlk grup "sayı teorisinden esinlenmiştir". İdealleri alır$R$ve üzerlerinde doğal bir çarpım tanımladıklarını gözlemler. Biri iki ideal tanımlar$I$ ve $J$sıfır olmayan değişkenler varsa eşdeğer olmak$s$ ve $t$ öyle ki $sI=tJ$. Bu ilişki çarpma ile iyi oynar ve bize eşdeğerlik sınıfları üzerinde bir çarpma verir (batırmadıysam; referansım "zarf hesaplamasının arkası" dır). Bu, eşdeğerlik sınıflarını değişmeli bir monoid haline getirir ve biri,$R$ bu monoidin birimleri, yani tersi olan elemanlar.
Not: Bunun yerine kesirli idealler kullanılabilir. Kesirli idealler teorisi genellikle sadece integral alanlar için kurulur ve eğer yukarıda hata yaptıysam, o zaman belki de integral alanlarla sınırlı olmalıydım. Kesirli bir ideal, paydalı bir integral ideal olarak tanımlanır, bu yüzden bunun burada tanımlanan grubu değiştireceğini düşünmüyorum.
- Picard grubu.
İkinci grup "geometriden esinlenmiştir" - bu Picard grubudur. $\operatorname{Spec}(R)$. Daha somut olarak, izomorfizm sınıflarının koleksiyonunu (bu bir dizi değildir) alın.$R$-modüller $M$. Bunun tensör çarpımından gelen bir çarpımı vardır ve bir küme olmaması dışında bir monoidin aksiyomlarını karşılar. Bununla birlikte, bu monoidin birimleri bir kümedir, çünkü bir zarf hesaplamasının başka bir arkası, eğer$M\otimes_R N\cong R$ ve yazarız $1=\sum_i m_i\otimes n_i$, sonlu bir toplam, sonra $m_i$ oluşturmak $M$ olarak $R$-modül, bize monoidin birimlerinin boyutu üzerinde biraz kontrol sağlar - hepsi bir bölüme göre izomorfiktir. $R^n$böylece küme-teorik anlamda kontrolü yeniden kazandık. Monoidin birimleri ikinci gruptur.
Soru, kendimi bu grupların genel olarak eşit olmadığına ikna etmeye çalışmamdan geliyor (çünkü genel olarak eşit olmalarını beklemiyorum). Eğer$R$ bir Dedekind alanıdır (yani $\operatorname{Spec}(R)$ düzgün bir afin eğridir) o zaman burada sınıf grubunun klasik tanımına ve süslü tanımına sahibiz. $R$ve sorunun cevabı "evet". Bunun nedeni, her 1. derece projektif$R$-modül idealine göre izomorfiktir $R$; doğru hatırlıyorsam, daha genel olarak her rütbeyi$n+1$ projektif $R$-modül izomorfiktir $I\oplus R^n$ bazı idealler için $I$ (bu en azından bir sayı alanının tamsayıları için geçerlidir) sıfırıncı cebirsel $K$-grup (Grothendieck grubu) $R$. Ancak bundan daha genel olarak neler olup bittiğinden emin değilim.
Açık bölenler Vikipedi sayfası ben "Her hat paket okumak$L$ açık $X$ integral bir Noetherian şemasında, bazı Cartier bölenlerinin sınıfıdır "bu da sonucun Noetherian integral alanları için doğru olabileceğini düşündürür, ancak orada bile kanıtı göremiyorum (belki de standarttır). O halde Noetherian olmayan karşı örnekler olup olmadığını merak ediyorum.
Yanıtlar
İşte Hartshorne'un yukarıda bahsedilen kanıtını bir şekilde genelleme girişimi.
İddia: Let$R$ toplam kesir halkası olan bir yüzük $R_{\mathrm{tot}}=S_{\mathrm{nzd}}^{-1}R$Artinian. Sonra herhangi bir ters çevrilebilir$R$-modül, tersinir bir ideale izomorftur.
(Hipotez, en azından aşağıdaki iki "doğal" durumda geçerlidir:
- $R$ integral şemaları durumuna karşılık gelen bir alandır,
- $R$ gömülü bileşenleri olmayan bir Noetherian halkadır, yani $\mathrm{Ass}\,R$ tam olarak minimal asal kümesidir, bu durumlarda spektrumu $R_{\mathrm{tot}}$ tam olarak bu minimal asallardan oluşur, dolayısıyla $0$-boyutlu.)
İspat: Hartshorne'un ispatında olduğu gibi devam edilir. Ters çevrilebilir bir modül verildiğinde$M$, bu yerel olarak ücretsiz, sabit dereceli bir modüldür $1$ve bu da $R_{\mathrm{tot}}$-modül $M \otimes_R R_{\mathrm{tot}}$. Gibi$R_{\mathrm{tot}}$ Artinian, yerel olarak özgür olan herhangi bir rütbe modülü $1$ aslında ücretsiz bir rütbe modülüdür $1$ve böylece bizde $$M=M\otimes_R R\hookrightarrow M\otimes_R R_{\mathrm{tot}}\simeq R_{\mathrm{tot}}.$$ Bu fark eder $M$ olarak $R$alt modül $M'$ nın-nin $R_{\mathrm{tot}}$. Sonlu olarak üretilir (çünkü$M$ is), bu jeneratörleri arayalım $a_1/s_1, \dots, a_n/s_n \in R_{\mathrm{tot}}.$ Ama sonra $s=s_1s_2 \dots s_n$ sıfır olmayan bölen $R$ve bizde $sM' \subseteq R$. Böylece,$M$ tersinir ideale izomorfiktir $I:=sM'$. $\square$
(Varsayımsal olarak varsayımın biraz daha gevşetilebileceğini tahmin ediyorum. $R_{\mathrm{tot}}$yerel halkaların sonlu bir doğrudan çarpımıdır ( düzenle: Aslında, basitçe şunu varsayarak daha da fazla$\mathrm{Pic}(R_{\mathrm{tot}})=1$). Ancak bunun sağlayacağı yeni "doğal" vakalar bilmiyorum.)
Bunu varsayacağım $R$kesir alanına entegre olarak kapalıdır. İzin Vermek$A$ yarı yerelleştirmek $R$ tüm maksimum ideallerde $R$faktöryel değildir. (Yani,$A=S^{-1}R$ nerede $S$ tüm bu maksimum ideallerin birliğinin tamamlayıcısıdır.) Sonra $Pic(R)$ içeride oturur $Cl(R)$ ve aslında haritanın çekirdeğidir $Cl(R)\rightarrow Cl(A)$.
Bu, bir yerlerde bir Fossum gazetesinde olmalı, ancak elimde referans yok.