Rampada İki Silindir

Question

İki silindirim olduğunu varsayalım: hafif ve ağır olan. Şimdi, silindirlerin kaymadan bir rampadan aşağı yuvarlanmasına izin veriyorum. Sorum şu, hangisi önce rampanın dibine inecek ve neden?

Answer 1

Eğik bir düzlemde bir silindir için net kuvvete bir göz atalım:

$$ \Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$$ nerede $f$ sürtünme kuvvetidir.

Şimdi COM ile ilgili tork (dönmenin olduğu noktadır): $$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$$

nerede $R$silindirin yarıçapıdır. Newton'un ikinci yasasına göre, Denklem (1) ve (2) şöyle olur:

$$ ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$$ $$I\alpha = Rf \tag{4}$$

Kayma olmadığı için $a = R \alpha$. Biz alırız $$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$$

Şimdi burada önemli kısım. YOĞUNLUĞUN her iki silindirde de TEK DÜZEY olduğunu varsayın. Yani yok değil aynı kütleye ima, fakat daha ziyade bu$\rho$silindirin her noktasında aynıdır. Bu durumda, eylemsizlik (COM ve silindirin her bir yüzünden geçen eksen hakkında)$$I=\dfrac{1}{2}mR^2$$ nerede $R$ yarıçap ve $m$ kütle.

Bunu (5) 'de değiştirelim ve alalım, $$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$$

Şimdi (6) ve (3) 'ü birleştirelim

$$ ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$$

Kütlelerin hepsinin birbirini götürdüğünü ve bırakıldığımızı gözlemleyin. $$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$$

(8) 'in ne kütleye ne de yarıçapa bağlı olmadığını gözlemleyin. Bu nedenle, her iki silindir de aynı ivmeyi yaşayacaktır . Her silindir için ivme aynı olduğundan (ve ikisi de aynı noktadan hareketsizken başladığı için), her ikisi de kütle veya yarıçaptan bağımsız olarak (yine tekdüze yoğunluk varsayılarak) aynı anda varacaktır.

Answer 2

Yalnızca yoğunlukları farklı olan iki silindirin aynı hızda yuvarlanacağına dair sezgisel bir kanıt var: sadece aynı kütleye sahip iki silindiri üst üste koyun. Silindirler aynı hızda dönecektir. Ama birlikte iki kat kütleye sahip bir silindir yaparlar, bu da aynı hızla yuvarlanır. Pratik bir mesele olarak, "üst üste binmek" için bir anlam vermek biraz karmaşık olabilir, ancak bu, sezgisel bir bakış açısından ispatı etkilemez.