Schreier teoreminin tersi

Question

Serbest bir grubun her alt grubunun özgür olduğunu biliyorum (Schreier teoremi).

(Önemsiz olmayan) bir sohbetin doğru olduğunu merak ediyorum, yani sonsuz bir grubun her uygun alt grubu$G$ o zaman ücretsiz $G$ bedava.

Yanlış olduğunu düşünüyorum ama karşı örnek bulamıyorum.

(Serbest grup sıralamasının uygun bir yarı doğrudan ürününün $n$ ($n \geq 2$) ve $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ karşı örnek ama henüz bulamıyorum.)

Herhangi bir yorum çok takdir edilecektir.

Answer 1

@ YCor'un yorumlarında söylediği gibi, aslında bir tür Tarski canavarı olan Ol'shanskii sayesinde sonlu bir şekilde oluşturulmuş bir örnek var. Ancak Ol'shanskii'nin yapımı çok karmaşık. Grupların "daha iyi" sınıfları için sorunuz hem önemli hem de açık kalır. Diğer birçok Tarski canavar türünde olduğu gibi, aşağıdaki sorunun cevabının hala bilinmediğini düşünüyorum (cevabın kesinlikle "evet" olmasına rağmen).

Her uygun alt grubun özgür olduğu, özgür olmayan, sonlu sunulmuş bir grup var mı?

Gerçekten de, çok güzel grup sınıflarında bile soru açık kalıyor.

Her uygun alt grubun özgür olduğu özgür olmayan hiperbolik bir kelime grubu var mı?

Olumsuz İKİ ünlü açık soruyla çözüleceği için bir örnek çok büyük bir haber olurdu, yani:

Her kelime-hiperbolik grup artık sonlu mu?

ve

Neredeyse özgür olmayan her hiperbolik grubun bir yüzey alt grubu var mı?

Tek seferde iki büyük soru umulamayacak kadar fazla göründüğünden, sonsuz indeksin alt grupları durumunda uzmanlaşmayı tercih ederim.

Sonsuz indeksin her uygun, sonlu olarak üretilmiş alt grubunun özgür olduğu, özgür olmayan, yüzeysel olmayan, sonsuz, kelime-hiperbolik bir grup var mı?

Bu son soru için, hiperbolik grupların dünyasının dışında örnekler var. Çözülebilir Baumslag – Solitar grupları

$BS(1,n)=\mathbb{Z}[1/n]\rtimes_n\mathbb{Z}$

Sonsuz indeksin her önemsiz olmayan sonlu oluşturulmuş alt grubunun sonsuz döngüsel olması özelliğine sahiptir.