Sınıfta katsayı problemi $\Sigma$

Question

İzin Vermek $\Sigma$ tek değerlikli (enjektif) holomorfik fonksiyonların sınıfı olmak $\mathbb{C}\backslash \mathbb{D}$ nerede $\mathbb{D}$kapalı birim disktir. Ünlü Bieberbach varsayımına benzer bir şekilde, katsayı için keskin sınırlar bulma problemidir.$b_n$ fonksiyonların $$g(z) = z + b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots$$ içinde $\Sigma.$Bununla birlikte, bu sorun Bieberbach varsayımından önemli ölçüde daha karmaşıktır çünkü burada aşırı işlevler için iyi bir aday yoktur. İlk varsayım$$|b_n| \leq \frac{2}{n+1}$$ yanlıştır ve bildiğim kadarıyla sadece keskin sınırlara sahibiz $b_2$ et $b_3$, yani $$|b_2| \leq \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad |b_3| \leq \frac{1}{2} + e^{-6}.$$ Fonksiyona ekstra koşullar eklersek daha fazla bilgi veren bazı teoremler de vardır. $g$ama bunlar beni burada ilgilendirmiyor. Sorum oldukça genel:

Katsayılar için keskin sınırlarla ilgili son sonuçlar nelerdir $b_n$genel durumda? Örneğin bunu biliyor muyuz$|b_4|$yoksa hala sıkışmış mıyız? Aşırı işlevler için yeni bir aday var mı?

Şaşırtıcı bir şekilde, bu bilgilerin literatüre girmesi zordur, çünkü $\Sigma$ daha az çalışıldı $\mathcal{S}$. Herhangi bir yardım için teşekkürler.

Answer 1

Son sonuçlar çok yeni değil. Çoğu gazetede bahsediliyor

MR1162188 Carleson, Lennart; Jones, Peter W. Tek değerlikli fonksiyonlar ve konformal boyut için katsayı problemleri üzerine. Duke Math. J. 66 (1992), no. 2, 169–206.

İzin Vermek $B_n=\sup_\Sigma |b_n|$. Soru, düşüş sırası ile ilgilidir.$B_n$. Kolay bir tahmin$B_n\leq n^{-1/2}$ve Clunie ve Pommerenke'nin eski sonucu şöyle diyor: $B_n\leq Cn^{-0.503}$. Bunun iyileştirilip iyileştirilmediğinden emin değilim, eğer öyleyse, o zaman çok az. Carleson ve Jones bunu kanıtladı$\gamma:=-\lim \log B_n/\log n$var. (Clunie-Pommerenke tarafından,$\gamma>0.5$). Ekstrem fonksiyonlar görünüşe göre bazı Julia setlerinin tamamlayıcıları veya diğer kendine benzer fraktaller üzerine uyumlu haritalar. Julia setlerini kullanarak, Carleson ve Jones bunu$\gamma\leq 0.79$, (bilgisayar destekli) ve aslında bunu varsaydı $\gamma=3/4$. Muhtemelen bu varsayım yayınlanmamıştır ancak 1990'larda uzmanlar arasında tartışılmıştır. O zamandan beri önemli bir ilerleme bilmiyorum.