Sınır değerlendirmesi.

Question

N. Piskunov'da düşen bir cisme etki eden hava direnci örneğini alarak diferansiyel denklemleri açıkladı. Diferansiyel denklemi değerlendirdikten sonra, hız için aşağıdaki gibi bir denklem alır:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Daha sonra eğer $k = 0$ sonra denklem temel denkleme döner: $$v = v_o + gt.$$

Şimdi bu ifadeyi anlıyorum çünkü hava direnci sıfır olduğunda bu hız denklemi geçerlidir. Ancak limiti değerlendirirken bu ifadeyi kanıtlayamıyorum:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Sınırı değerlendiren herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır!

Answer 1

Var

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

İlk terimin sınırı, yani $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, sadece basitçe $v_{o}$. İkinci dönem için, limit artacağından$\frac{0}{0}$, L'Hôpital kuralını kullanarak verir

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Ayrıca kullanılan olabilir dnfu 'ın sorusu comment aynı değeri elde etmek listelenen gerçeğini. \ Eqref {eq1A} 'nın birleşik sonucu böylece

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Alternatif olarak, standart sınırımız var $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ gibi $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

ve sonuç takip eder.

Answer 3

İle

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

olur

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$