Spektral ayrışma teoremi

Question

Spektral ayrışma teoremini gözden geçiriyorum. Eğer$Y$ simetrik bir matristir, o zaman $Y$ olarak ayrıştırılabilir $Y=Q\Lambda Q'$sütunları nerede $Q$ özvektörleridir $Y$ ve $\Lambda$ köşegen özdeğerlerinden oluşan köşegen bir matristir. $Y$.

Bu teoremin bir kısmından şu sonuca varılabilir: $Q$ortogonal bir matris mi? Özvektörlerinin$Y$ ortogonaldir, dolayısıyla matrisin $Q$ ortogonal mi?

Answer 1

Normu bire eşit olan özvektörleri almalısınız, bulursunuz $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

İfadende, $Y=Q\Lambda Q'$ ve satırlar $Q$ özvektörleridir $Y$.

Bunda, $Y=Q'\Lambda Q$ ve sütunları $Q$ özvektörleridir $Y$.

Simetrik bir matriste, farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörlerin her zaman ortogonal olduğunu biliyoruz. Eğer$\bf x$ ve $\bf y$ farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörlerdir $\lambda$ ve $\alpha$ sırasıyla, sonra $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ dan beri $\lambda-\alpha\neq 0$.

Şimdi, her özuzay için tüm özvektörlerin kümesini oluşturan ortonormal bir temel bulun. $Y$ ortonormal bir küme $\mathbb{R}^n$ (farklı öz uzaylar birbirine ortogonal olduğundan).