Spektrumu bir $\ell^2$-Şebeke

Question

Spektrumu bulmam gerek $\sigma(T)$ aşağıdaki operatörün $\ell^2$ (gerçek diziler):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

ancak bazı sorunlar yaşıyorum (dün benzer bir soru gönderdim ve operatörün kompakt olduğu belirtildi, ancak bu değil)

---

Al $y \in \ell^2$ ve varsayalım $(T-\lambda)x=y$aşağıdaki ilişkilere sahibiz:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

bunlardan elde ederiz

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

şimdi olup olmadığını nasıl belirleyeceğimi bilmiyorum $x \in \ell^2$.

Answer 1

DÜZENLEME: Bu soru için geçerli değildir. Aşağıya bakınız.

Operatörü şu şekilde belirtin: $P$. Açık olmalı$P$ bir projeksiyondur; $P^2=P^*=P$. Herhangi bir projeksiyon için, spektrum bir alt kümesidir$\{0,1\}$bunlardan en fazla biri hariç. Diğer tüm durumlarda açık bir ters tanımlayabiliriz:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Bu, aşağıdaki hesaplama ile doğrulanabilir:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} Bunun iki taraflı bir ters olduğu gerçeği, çarpma sırasını tersine çevirmekten başka bir şey yapmayan tüm denklemin başrolünü oynar.

BURAYA DÜZENLE: Operatör $T$ yukarıdaki alır $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$ve daha sonra sonraki endekslere geçer. Bu şu demek$T$ ayrışması var $I_3\oplus R$, nerede $I_3$ ... $3\times 3$ kimlik operatörü ve $R$doğru vardiya operatörüdür. Sonlu çok sayıda operatörün doğrudan toplamının spektrumu, spektrumlarının birleşimidir. Kimlik operatörünün spektrumu$1$ve sağ vardiya operatörünün spektrumu kapalı birim disktir $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Yani spektrumu$T$ kapalı birim disktir.