Spinörün tanımı ile ilgili problem

Question

Spinörün ne olduğuna dair basit bir anlayış geliştirmeye çalışıyorum, bunu yaparken iki farklı spinor tanımına rastladım:

İlk tanım:
If$|\psi\rangle$ genel bir dönüş durumudur $1/2$ parçacık daha sonra aşağıdaki şekilde ayrıştırılabilir: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ nerede $|+\rangle,|-\rangle$ spin üçüncü bileşeninin özdurumlarıdır ($S_z$), ve $c_+,c_-$karmaşık sayılardır. Bunu şu şekilde de yazabiliriz: $$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$ ve bu formda genellikle yazmayı tercih ederiz $u$ yerine $|\psi\rangle$. Parçacığın durumunu temsil eden bu 2D vektöre spinor denir .

İkinci tanım:
Bir spin parçacığı verildiğinde$1/2$ dalga fonksiyonunu (herhangi bir nedenle) aşağıdaki şekilde yazabiliriz: $$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$parçacığın dalga fonksiyonu bu şekilde yazılı, denir spinor .

Bu iki tanım arasında bir köprü ve aynı zamanda ikinci ifadeden "bir nedenle" çirkin olanı kaldırmanın bir yolunu arıyorum. Bununla ilgili olarak: ders notlarımda şunlar yer almaktadır: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ bu adım, kimlik operatörünün basit bir uygulaması olduğu için iyidir, ancak daha sonra: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ ama yine de (1) 'i verilmiş kabul edersek, o zaman elimizde:

$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$

dan beri $u_{s_z}$ gerçekten de spin operatörünün özdurumu olan 2D vektördür.

Fakat denklem (1) ile ilgili büyük bir problemim var: Sol tarafın sağ tarafa eşit olduğunu nasıl kanıtlayabileceğimizi anlamıyorum. Neden orada$Y(\theta , \phi)$? (nerede$Y$ elbette küresel harmoniklerdir, dolayısıyla açısal momentumun özfonksiyonlarıdır) $c^{s_z}_{l,m}(r)$ ve neden $r$bağımlı? Neden görünüyor$u_{s_z}$?

Answer 1

1. denklem: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ iki seviyeli bir sistemde herhangi bir saf durum için genel formdur. Tüm normlu çiftlerin uzayı ($c_+$, $c_-$) Bloch Küresi olarak adlandırılır.

Herhangi bir iki seviyeli sistem için geçerli olması nedeniyle, bir spinörün fiziksel doğasını özellikle iyi bir şekilde açıklamaz. Aslında birçok öğretim senaryosunda kafa karışıklığına yol açabilir. Bunun nedeni "dönüş" ve "aşağı döndürme" terimleridir. Bu, başlatılmamış kişinin, dönüşün büyüklük ile hizalı veya hizasız olduğunu düşünmesine yol açar.$\frac 1 2$ (birim cinsinden $\hbar$), durum bu değil.

Bir spin 1/2 parçacığının açısal momentumu

$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$

ve öz durumlar yalnızca tek bir eksendeki izdüşümü bilmeye izin verir, bu da $\frac 1 2$. Bu, bir$S_z$ eigenstate, hala var:

$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$

eşit olarak dağıtılan açısal momentum birimleri $x-y$uçak. Bu gerçek, komütasyon ilişkileriyle birlikte:

$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$

ve herhangi bir eksendeki spini niceleme yeteneği, spinörleri anlamak için kritiktir.

Kısaca katsayıları şu şekilde yazabilirsiniz:

$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$

ve herhangi bir çift ($\theta,\phi$), orijinal temelde bir süperpozisyonu temsil eder, () 'yi gösteren bir eksen boyunca nicelendirildiğinde saf bir spin yukarı durumudur.$\theta, \phi$) yön.

Yani bu, bir dalga fonksiyonunun spin kısmıdır. Spin dalgası fonksiyonunu bir sütun vektörü (2. denklemleriniz) olarak yazıp faktörlü uzamsal dalga fonksiyonu ile birleştirirseniz, şunu elde edersiniz: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ Bu, uzaysal dalga fonksiyonuna ve dolanmamış bir dönüşe sahip bir parçacığı temsil eder. En genel durumda, uzay ve spin bileşenleri birbirine dolanabilir ve bu 3. denklemlerinizi gerektirir:

$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$

Bu, Stern-Gerlach deneyi gibi sistemler için gereklidir.

Dalga fonksiyonunun sadece bir uzamsal bileşenine bakarsak, örneğin, $\psi_+(\vec x)$burada bir vektörün fonksiyonu olarak yazılmıştır, $\vec x$. Bu, kartezyen koordinatlarda yapılabilir:

$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$

diğer koordinatlar veya açısal momentum korunduğunda genellikle en yararlı olan şey: küresel koordinatlar. Bu durumda, açısal kısım, 5. denkleminizdeki standart projeksiyona göre küresel harmoniklerde yakalanır:

$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$

Bu denklemden gördüğümüz şey, yörüngesel açısal momentumun ($(l,m)$) her bir spin durumuna çift (açısal momentum toplamasının olağan kurallarına göre). Toplam açısal momentum kuantum sayılarının özdurumlarının ($J^2, J_z$) farklı karıştır $(l, m)$ tarafından yakalandığı gibi, dönüş ve aşağı dönüş ile $c^{\pm}_{lm}$. Bu standart Clebsch-Gordan şeylerdir, örneğin:

$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$

Bu, toplam açısal momentum kuantum sayılarının iyi olacağı şekilde spin ve açısal koordinatların temsil ve dolanmasını temsil eder.

Bunu Hidrojen atomunda gördüğünüzde, radyal dalga fonksiyonu tamamen çarpanlara ayrılmıştır. Nihai denkleminiz, ancak, radyal bağımlılığa izin verir.$c^{\pm}_{lm}(r)$. Bu, radyal yönde spin ve uzay koordinatı arasında uzamsal dolaşıklığı ortaya çıkarır. (Bunun ortaya çıktığı yerde elden bir sistem düşünemiyorum ... çünkü, küresel harmonikler kullanıyorsanız, problem küresel koordinatlarda ayrılabilir olmalıdır). Bununla birlikte, bir küresel koordinatlarda en genel spinor dalga fonksiyonu.

Ek: Unutmayın ki $\theta$ ve $\phi$ (1) 'in RHS'sine bağımlılık doğrudan $\vec x$LHS'de. İşte gidiyorum$\vec r$ 3B konum vektörü için $\vec x$ kafa karışıklığına neden olur:

Kartezyen koordinatlarda $(x, y, z)$ ve kartezyen temel:

$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$

bu, küresel koordinatlarda $(r, \theta, \phi)$ ve kartezyen temel:

$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$

Şimdi, bunlar (küresel taban vektörleri z ekseni etrafındaki dönüşlerin 3 özvektörleri küresel baz vektörlerine kartezyen baz vektörlerinden geçebilir olmayan (küre-koordinat taban vektörleri$\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$ve bunları anlamak spin ve tensör operatörlerini vb. anlamada çok yardımcı olur:

$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$

yeniden düzenlenebilir:

$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$

açısal katsayıların, $l=1$ küresel harmonikler:

$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$

Bu formüle alışmak biraz zaman alabilir. Küresel olarak ise, küresel harmonik olan koordinatlar. Tuhaf, bir fonksiyon nasıl bir koordinat olabilir? Bak$Y_1^0(\theta,\phi)$. Birim küre üzerinde , $z$. İyi$z$ bir fonksiyondur (bu bir polinomdur) ve öyledir $x$ ve $y$. Polinom katsayılarını düz kartezyen temsilinde kullanıyoruz, sadece onları böyle düşünmüyoruz, onları etiketli sayılar olarak düşünüyoruz.