Stone-Weierstrass teorem gibi.

Question

İzin Vermek $f$ gerçek değerli bir sürekli işlev olmak $[-1,1]$ öyle ki $f(x) = f(-x),$ hepsi için $x \in [-1,1].$ Bunu her biri için göster $\varepsilon \gt 0$ bir polinom var $p(x)$ rasyonel katsayılarla, öyle ki her $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Bunu nasıl kanıtlarım? Herhangi bir yardım çok takdir edilecektir.

Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Önce şunu kanıtlayalım.

1. Varsayalım $p$ bir polinom $[-1, 1]$ ve izin ver $\varepsilon>0.$ Bir polinom var $q$ Rasyonel katsayılarla $\|p-q\|<\varepsilon.$

Kanıt. Bunu görmek için izin ver$\deg(p)=n$ ve izin ver $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Rasyonel seçin $b_i$ öyle ki $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Şimdi bunu gözlemleyin $x\in [-1, 1]$ sahibiz $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Şimdi, kanıtlanması gereken ikinci şey, eşit bir işlev olduğudur. $f$ Bir çift polinom ile yaklaştırılabilir $x^2.$ (Yorumunuz nedeniyle) bunu göstermekte zorlanmadığınıza inanıyorum.

Umarım şimdi iddianızın nasıl sonuçlandığını görebilirsiniz.