Süreklilik ve sınır hakkında bir ev ödevi

Question

Bir ev ödevi sorusu için nasıl iyi bir başlık oluşturacağımı gerçekten bilmiyorum.

Benim sorunum, Problem 29, Bölüm 1.1, Yük ve Faires'ın Sayısal Analizi (9.) bölüm 1 . Bu çalışan bir PDF kopyasıdır .

İzin Vermek $ f \in C [a, b]$, $ p \in (a, b) $ ve $ f(p) \neq 0 $.

Göster $ \delta > 0 $ ile var olmak $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$, ile $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

8. baskı için aşağıdaki çözüm kılavuzuna sahibim:

$ f $ sürekli $ p $, ve $ f(p) \neq 0 $var $ \delta > 0 $ ile:

$$ |f(x) - f(p)| < \dfrac{|f(p)|}{2} \tag{1}\label{1} $$

için $ |x - p| < \delta $ ve $ a < x < b $. Biz kısıtlamak $ \delta $ Böylece $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Anlamaya çabalıyorum kısıtlamak parçası ve değişken eşitsizlik$ \ref{1} $.

1. Kanıtlamamız gerektiğini düşündüm

   Var $ \delta $ tatmin edecek şekilde:

   1. $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $, ve
   2. $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$

   Çözüm 1'in doğru olduğunu nasıl açıkça ilan edebilir?

2. Nasıl ortaya çıkabilirim $ \dfrac{f(p)}{2} $?

   Limit tanımını kullandıklarını anlıyorum (kitapta verilmiştir):

   Bir işlevin sınırı vardır $ L $ -de $ x_0 $ eğer verilmişse $ \varepsilon > 0 $bir gerçek var $ \delta > 0 $ öyle ki:

   $$ |f(x) - L| < \varepsilon \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $$

   Ama neden seçiyorlar $ \varepsilon = \dfrac{|f(p)|}{2}$? Çözümün geri kalanından herhangi birini düşünüyorum$ \varepsilon < |f(p)| $yapacağım. Gerisi bu:

   $$ f(p) - \varepsilon < f(x) < f(p) + \varepsilon $$

   1. Eğer $ f(p) < 0 $, sonra $ f(x) < f(p) + |f(p)| = 0 $
   2. Eğer $ f(p) > 0 $, sonra $ f(x) > f(p) - |f(p)| = 0 $

   Her iki durumda da, $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $

Bana yardım ettiğin için teşekkürler.

Answer 1

Bunu kanıtlamana gerek yok $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$ çünkü sadece iki seçenek var:

(1) $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$, sonra bitirdik.

(2) $[p-\delta,p+\delta]$ içinde değil $[a,b]$. Daha sonra, mülk herkes için geçerli olduğundan$x\in[p-\delta,p+\delta]$, kesinlikle herhangi biri için geçerli $x\in [p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ nerede $0<\delta_{1}<\delta$. Seçme$\delta_{1}$ Böylece $[p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ ait olmak $[a,b]$ ifadeyi doğru kılar.

(Bunun açık bir seçimi $\delta_{1}$, durumunda $[p-\delta,p+\delta]$ içinde değil $[a,b]$, dır-dir $\delta_{1}=\min\{\frac{b-p}{2},\frac{p-a}{2}\}$).

---

$\dfrac{|f(p)|}{2}$ arasındaki mesafenin yarısı $f(p)$ ve $0$. İki nesne arasındaki mesafenin, aralarındaki kesin mesafeden daha az olan bir mesafe ölçüsü elde etmek iyi bir püf noktasıdır . Herhangi birini seçebilirsin$\varepsilon<|f(p)|$ dediğiniz gibi, ancak "gereksiz yere" kesindir.

Gereksiz derken şöyle bir şey kastediyorum:

Farz edin ki, sizin ve benim aynı kişi olmadığımızı kanıtlamak istiyoruz, ikimiz de biliyoruz, çünkü (tartışma adına) birbirimizden 500 metre uzaktayız: Bu yüzden diyorum ki "Aramızda en az 250 metre var, bu yüzden biz değiliz aynı kişi". "0.0000000001 milimetre uzaklıktayız, bu nedenle aynı kişi değiliz" diyorsunuz.

İkimiz de haklıyız, ancak bu argümanda, tıpkı soruda olduğu gibi, aramızda sıfır olmayan bir mesafe olması önemlidir ($f(p)$ ve $0$ soruda) ve bunu gerçekleştirmek için minimum mesafenin olması gereken şey değil.