Temel dönem $x[kn]$

Question

İzin Vermek $x[n]$ temel dönem ile periyodik olmak $N$ ve $y[n] = x[kn]$ nerede $k \in \mathbb{N}$ ve $k\ge2$. Dır-dir$y[n]$periyodik? Temel dönem nedir$y[n]$?

İşte cevabım:

Eğer $N = mk$ nerede $m \in \mathbb{N}$ sonra $y[n+m] = x[k(n + \frac{N}{k})] = x[kn+N] = x[kn] = y[n]$. Yani bu durumda temel dönem$\frac{N}{k}$. Aksi takdirde basitleştirin$\frac{N}{k}$ öyle ki $\frac{N}{k} = \frac{m}{n}$ nerede $\gcd(m , n) = 1$. Temel dönem$m$ dan beri $y[n+m] = x[k(n+\frac{nN}{k}) ] = x[kn + nN] = x[kn] = y[n]$.

Çözümümün doğru ve yeterince titiz olup olmadığını bilmiyorum. Örneğin, daha küçük bir dönem olmadığını nasıl ispatlayabiliriz?

Answer 1

Haklısın. Aşağıdakiler gösterdiğiniz şeydir.

İzin Vermek $x[n]$ N periyoduna sahip periyodik bir sıra: $$ x[n] ~=~ x[n + rN] ~~~~~,~~~\forall r,N \in Z^+ $$

Tanımlamak $y[n] = x[M n]$, nerede $M$pozitif bir tamsayıdır; sonra

$$ y[n] = x[Mn] = x[Mn + rN] = x[M(n + \frac{rN}{M})] = y[n+K] $$

$y[n]$ ile periyodik olacak $K$, Eğer $\frac{r ~N}{M}$bir tamsayıdır. Bu nedenle, ayarlayın$r$ yapan herhangi bir değere $\frac{rN}{M}$ Bir tam sayı.

Eğer $N,M$ zaten coprime, sonra ayarlanıyor $r=M$ yapar $K=N$ dönemi olarak $y[n]$. Zaten uyumlu değillerse, o zaman onları ortak olun$M_c,N_c$ve sonra ayarlayın $r=M_c$ yapmak $K = N_c$ dönemi olarak $y[n]$.

Yapmak $N,M$ coprime, onları en büyük ortak bölenine bölerek $g = \text{gcd}(N,M)$ :

$$ N_c = N / g ~~~,~~~~ M_c = M / g $$

Daha sonra, genel durum için, dönem $y[n]$ dır-dir:

$$ \boxed{ K = \frac{N}{ \text{gcd}(N,M) } } $$