Temel matrisleri bulma

Question

Şimdi bu matrisleri düşünelim $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Ve soru, tersinir matrisi bulmaktır. $X$ öyle ki $AX=B$ ve ifade $X$bir ürünü olarak 2 temel matrisler.

Bildiğim şeyi denedim: Yani, A'yı ters çevirip B ile çarparak X'i kolayca elde edebileceğinizi biliyorum, ancak iki temel matrise ihtiyacım var, bu yüzden farklı bir çözüm denedim.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Yani yaptığım şey, temel satır işlemleriyle A'yı eşit yapmaya çalışmak ve aynısını başka bir 2'ye yapmaktı. $\times$ 2 kimlik matrisi.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

Böylece, belirtilen problem gibi iki temel işlemle C'ye ulaşabildim. Ama sonra orijinal denklemime bakmaya çalıştığımda:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

C'ye eşit değil Neyi yanlış yaptığımı anlamıyorum? Hesaplamayı defalarca yapmaya çalıştım ve hala aynı şeye ulaşıyorum. Burada hatam nerede? Sürecin kendisi mi?

Answer 1

Hesaplamayı dene $A^{-1}B$ ve matrisin şundan farklı olduğunu göreceksiniz $E_1E_2$ , dolayısıyla bir kare matrisin tersi benzersiz olduğundan (ve $A^{-1}B$ Ayrıca) yönteminiz yanlış.

---

Problemi çözmek için traspose matrisinin bir özelliğini kullanırım, yani:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Bunu kullanmak için sistemin temel matrislerini bulun: $$KA^T = B^T$$ ile $K=E_2E_1$ve sonra her şeyi aktararak şunları elde edin:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$