Temsillerinde sorun $D_4$

Question

Sorun

İzin Vermek $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ ve $V=\mathbb{C}^2$ bazlarla $\{e_1,e_2\}$. Görürüz$V$ olarak $\mathbb{C}G-$eylemli modül $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ ve $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. Karakteri hesaplayın $\chi_V$ ve şunu göster $\mathbb{C}G-$modül $V$ indirgenemez.

onu buldum $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ ve şu $[\chi_V,\chi_V]=1$ dolayısıyla $\mathbb{C}G-$modül $V$ indirgenemez.

1. Eğer inceleyin $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ var $\mathbb{C}G-$alt modül izomorfik $\mathbb{C}G$.
2. Her biri için $n\ge1$ bizde $\mathbb{C}G-$modül $V_n=V^{\otimes n}$. Hepsini bul$n$ var olan $w\in V_n$ st $w\not=0$ ve $gw=w,\ \forall g\in G$.

bulmak zorundayım $n$ st $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. bunu biliyorum$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. Öyleyse olmalı$n\in2\mathbb{Z}$.

(a) Yaklaşımım $1,3$ doğru?

(b) için herhangi bir fikir $2$?

(c) Bir modülün $A$ bir modülün izomorfik bir görüntüsünü içerir $B$karakter mi kullanıyorsunuz? Özellikle, bir$\mathbb{C}G-$ modül $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ içerir $\mathbb{C}G-$ alt modül izomorfik $V$?

Şimdiden teşekkürler!

Answer 1

1. Gösteriliyor $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ iyi.

2. Genel olarak, $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. Bu sadece çünkü$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$, dolayısıyla skaler çarpım basitçe $\chi_V(1) = \dim V$. Bu örnek gösteriyor ki gerçekten$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ sana pek bir şey söylememe gerek yok $V$ içerir $W$. Ayrıca şunu da gösterir:$V$ içerir $\mathbb{C}G$ ancak ve ancak tüm indirgenemezler için $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. Bu son koşul, elbette her şeyi bilip bilmediğinizi kontrol etmek kolaydır.$\chi_W$açık bir şekilde ve bu kadar küçük bir grup için bunları elle çözebilirsiniz.

3. Bilgi işlem $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ Harika.

Bu özel durumda, görmek kolaydır $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, yani $V \otimes V$ indirgenemez içermez $V$bu yüzden içeremez $\mathbb{C}G$ ve diğer eşitsizlikleri kontrol etmeniz veya diğer indirgenemez karakterlerin peşine düşmeniz gerekmez.