Ters M-matris yapısı

Question

Bir M matrisinin yapısını anlamaya çalışıyorum (https://en.wikipedia.org/wiki/M-matrix) tersi özel bir biçime sahip olan: Let $A$ ters M-matrisi olabilir (ters M-matrisleri, tersi bir M-matrisi olan matrislerdir, öyle ki matrisin her satır toplamı sabit bir sabittir (1'den büyük). o satırın köşegen girişleri öyle ki $xa_{ii}\leq a_{ij}\leq ya_{ii}$ $\forall i\neq j$, nerede $0<x<y<1$. Bunu göstermeye çalışıyorum$A^{-1}$ 1'den küçük pozitif çapraz girişlere sahip olacaktır.

Şimdiye kadar böyle bir sonucun neden doğru olması gerektiğine dair bir referans bulamadım, ancak bir karşı örnek de alamadım (sayısal örnekler denedim). Sezgisel olarak, matrisin özel yapısı, köşegen dışı girişleri nedeniyle doğru olacağını düşünüyorum.$A$birbirine yakın olduğundan, tersi bunu telafi etmek için yukarıdaki yapıya sahip olacaktır. Herhangi bir fikir veya öneri gerçekten yardımcı olacaktır.

Answer 1

2 karşı örnek buldum:

1. İzin Vermek $A= \begin{pmatrix}1.1 & 0.89\\0.89 & 1.1 \end{pmatrix}$, sonra $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.6322 &-2.1297\\-2.1297 & 2.6322 \end{pmatrix}$.
   Buraya$x=0.8, y=0.9$, yani, $(0.8)(1.1)\leq 0.89\leq (0.9)(1.1)$.
   
2. İzin Vermek $A= \begin{pmatrix}5.1 & 4.9\\4.9 & 5.1 \end{pmatrix}$, sonra $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.55 &-2.45\\-2.45 & 2.55 \end{pmatrix}$.
   Buraya$x=0.94, y=0.98$, yani, $(0.94)(5.1)\leq 4.9\leq (0.98)(5.1)$.
   Bu yüzden, sezginin araştırmada her zaman işe yaramadığını tahmin ediyorum.