Toplamla ilgili soru sınırı

Question

İçin $a\in R$ & $a \ne 1$ $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^a} + {2^a} + ... + {n^a}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{a - 1}}\left[ {\left( {na + 1} \right) + \left( {na + 2} \right) + .. + \left( {na + n} \right)} \right]}} = \frac{1}{{60}}$$, sonra değerini bulun $a$.

---

Benim yaklaşımım şu şekildedir:

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^a} + {2^a} + ... + {n^a}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{a - 1}}\left[ {\left( {{n^2}a + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)} \right]}} = \frac{1}{{60}}$$

Entegrasyona devam edebilmek için bunu toplam limitine nasıl dönüştürebilirim?

Answer 1

Verilen ifadenin pay ve paydasının bölünmesi $n^a$, anlıyoruz $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\sum_{r=1}^n(\frac rn)^a}{\frac{(n + 1)^{a - 1}}{n^a}\sum_{r=1}^n\left( na + r\right)} = \frac{1}{{60}}$$
$$\implies \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{(n+1)\sum_{r=1}^n(\frac rn)^a}{(\frac{n + 1}{n})^{a}\cdot n\sum_{r=1}^n\left( a + \frac rn\right)} = \frac{1}{{60}}$$
Şimdi, pay ve paydayı şuna bölün: $n$ ve sınırı entegrasyona dönüştürebilirsiniz. $a$ ortaya çıkacak $7, -\frac{17}2$. Şüphe?