Türetilmiş functor (Tor) hakkında

Question

İzin Vermek $A$ 1 ile değişmeli halka olmak ve varsayalım $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ kısa tam bir dizi olmak $A$-modüller. İzin Vermek$D$ fasulye $A$-modül.

Anlıyorum eğer $Tor^{A}_1(D,P)=0$, ardından karşılık gelen tam sıra $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$Tor, türetilmiş functor bırakıldığı için kesin.

Ancak tersine, eğer verilen tensör ürün dizisinin kesin olduğunu bilirsek, bunu her zaman söyleyebiliriz. $Tor^{A}_1(D,P)=0$?

Cevap evet (Atiyah diyor) ama bunun neden geçerli olduğunu anlayamıyorum. Sanırım gerçekleşebilir ki$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ ama görüntüsü $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ sıfırdır, böylece eşleme $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ enjekte edici.

Answer 1

Sahip olabilirdik $N=P$ ve $M=0$. Bu yapacak$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ ne olursa olsun kesin $P$ dır-dir.

Sanırım bunun yerine, Atiyah'ın kastettiği şuydu: Eğer gergin sekans herhangi biri için aynıysa $M,N$ öyle ki $$0\to M\to N\to P\to 0$$ kesin, sonra anlıyoruz $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$.