Tychonoff teoremi üzerine

Question

İzin Vermek $x_n:[0,1]\rightarrow E$ bir dizi uygulama, burada $E$normlu bir alandır. Varsayalım ki her biri için$t\in [0,1]$ $$\left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \} \text{ is weakly compact.}$$

İddia: By Tychonoff teoremi , bir o alabilirsiniz:

$$\left \{ x_n(.):\; n\in \mathbb N\right \}=\prod_{t\in [0,1]} \left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \}$$ zayıf şekilde kompakt $\mathcal{A}([0,1],E)$, nerede $\mathcal{A}([0,1],E)$ uygulama alanı $[0,1]$ -e $E$.

Sorun : Eşitliğin sol tarafı şunların bir alt kümesidir:$\mathcal{A}([0,1],E)$sağ taraf ise alt kümesidir $\{x_n([0,1]): n\in \mathbb N\}$!

Aşağıdaki uygulamanın önyargılı olduğunu biliyorum $$\begin{matrix} \Phi: \mathcal{A}([0,1],E)& \rightarrow & E^{[0,1]}\\ x &\mapsto & \big(x(t)\big)_{t\in [0,1]} \end{matrix}$$

ama nasıl kullanacağımı bilmiyorum, eğer onun homeomorfizmi varsa benim sorunum apaçık olacaktır.

Answer 1

Sağ taraf da ( sonsuz bir ürünün tanımına göre)$\mathcal{A}([0,1],E)$.

Sizin $\Phi$kimliktir. Kanıtlanacak hiçbir şey yok.

IMO, bu gösterim $\{x_n(\cdot): n \in \Bbb N\}$ bu garip.