Üstel operatör genişletme

Question

Derslerimde profesör, üstel doğrusal operatörler için bunun $$ \exp(\lambda A + \lambda B) \neq \exp(\lambda A)\exp(\lambda B) $$ için $AB\neq BA$.

Şimdi üstel operatörün üstel fonksiyonla benzer bir tanıma sahip olduğunu biliyorum. Dolayısıyla operatörler için bir Taylor serisi kavramı da olmalıdır.

Farz edelim ki $\lambda \ll 1$ ihmal edebileceğimiz şekilde $O(\lambda^3)$ ama gerçek sayıyı ikinci sıraya koymalıyız $\lambda$. Üstel operatörün üssü, formdaki yalnızca bir küçük operatörden oluşuyorsa $$ \exp(A+\lambda B) $$ daha sonra ikinci sıraya genişletebilir miyiz $\lambda$ öyle ki $$ \exp(A+\lambda B)\approx \exp(A) + \exp(A)\lambda B + \frac{1}{2}\exp(A) \lambda^2 B^2 + .....? $$ Bunun böyle olmadığına inanıyorum çünkü bizde de $$ \exp(A)\exp(\lambda B)\approx \exp(A) (I+\lambda B + \frac{1}{2} \lambda^2 B^2 + .....) $$ yukarıdaki ile aynı ve çelişen $AB\neq BA$.

Üstel operatörün tanımı doğrudan şu şekilde de uygulanabilir: $$ \exp(A+\lambda B) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(A+\lambda B)^n}{n!} $$ ama "nasıl ayrıştıracağımdan emin değilim"$A$"kısmı (ihmal edebileceğimizi varsayarsak $O(\lambda^3)$) ve ayrıca Taylor genişlemesinin bu çelişkiye çarpmadan böyle bir operatöre nasıl uygulanacağı.

Şimdiden teşekkürler!

Answer 1

Gerçek genişleme $$\eqalign{\exp(A + \lambda B) &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(A+\lambda B)^j}{j!}\cr &= \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j \frac{P_{j,k}(A,B)}{j!} \lambda^k}$$ nerede $P_{j,k}$ ürünlerinin toplamıdır $j$ faktörleri (tüm siparişlerde) $k$ vardır $B$ ve diğer $j-k$ vardır $A$. Böylece katsayısı$\lambda^0$ genişlemesinde $\exp(A+\lambda B)$ dır-dir $\exp(A)$, ancak katsayısı $\lambda^1$ dır-dir $$ \sum_{j=1}^\infty P_{j,1}(A,B)/j! = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} A^i B A^{j-i-1}/j!$$ Kesinlikle o kadar basit değil $\exp(A) B$.

DÜZENLEME: Yazabilirsin $$ \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} \frac{A^i B A^{j-i-1}}{j!} = \sum_{i=0}^\infty A^i B f_i(A)$$ nerede $$f_i(x) = \sum_{j=i+1}^\infty \frac{x^{j-i-1}}{j!} = \frac{\exp(x) (i! - \Gamma(i+1,x))}{x^{i+1} i!} $$ ve $\Gamma(\cdot, \cdot)$ eksik Gama işlevidir.

DÜZENLEME: Katsayısı için $\lambda^2$, tüm ürünleri iki $B$'s. Yani $$ \sum_{j=2}^\infty \sum_{i=0}^{j-2} \sum_{k=0}^{j-2-i} \frac{A^i B A^k B A^{j-2-i-k}}{j!} $$

Answer 2

Genişlemenin standart yolu $e^{A+\lambda B}$ Dyson serisidir https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series.

Bildiğim türevi vereceğim, ancak iyi bir çevrimiçi referans olması gerektiğinden emin olsam da, onu takip edemedim:

Düşünmek $e^{A+\lambda B}=e^{N((A+\lambda B)/N)}= \prod_{k=1}^N e^{(A+\lambda B)/N} $

Böylece $${d\over d\lambda}e^{A+\lambda B}=\sum_k e^{(k-1)((A+\lambda B)/N)}{d\over d\lambda}[e^{(A+\lambda B)/N}]e^{(N-k)((A+\lambda B)/N)}$$ Yapmamıza izin var $N$ istediğimiz kadar büyük ve sınırda türevi birinci sıraya genişletebiliriz. $1\over N$ almak $${d\over d\lambda}[e^{(A+\lambda B)/N}]\rightarrow {d\over d\lambda}[1+{(A+\lambda B)/N}]= B/N$$ her şeyi döndürmek ve süreklilik sınırına gitmek (toplamı integrale): $${d\over d\lambda}e^{A+\lambda B} = \int_0^1 e^{\tau (A+\lambda B)}Be^{(1-\tau) (A+\lambda B)} d\tau $$ Yani ilk sıraya $\lambda$ :

$e^{A+\lambda B}\sim e^A +\lambda \int_0^1 e^{\tau A}Be^{(1-\tau) A}d\tau+\cdots$

Daha yüksek siparişler basittir, ancak zahmetlidir.