Yaklaşımın önemi $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Question

Brownian hareketinin sonsuz küçük oluşturucusunun olduğunu göstermek için $\frac{1}{2}\Delta$, bu cevapta önce denklem yazıyor$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ daha sonra aşağıdaki yaklaşımı türetir: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Sonra tartışılır ki "(1) 'den bunu görüyoruz $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ ısı denkleminin (benzersiz) çözümü "

Bahsedildiği gibi burada , biz sadece ısı denklemi içine tahminini yerine geçemez. Öyleyse,

1. Bu yazının yazarı neden bu yaklaşımı yaptı? ispat için bu yaklaşımı nasıl kullandı? kullanmadıysa
2. Herhangi biri onun argümanını daha fazla açıklayabilir mi: "(1) 'den şunu görüyoruz $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ ısı denkleminin (benzersiz) çözümü ... "?

Answer 1

Karmaşanız, yaklaşımın bir şekilde ısı denklemine bir çözüm oluşturmaya hizmet ettiğini düşündüğünüz için ortaya çıkabilir. Olan şey, bazı kısmi diferansiyel denklemlere (PDE) bir çözümle başlamanızdır ve yaklaşım, bu PDE'yi ısı denklemi olarak tanımlamaya hizmet eder. Bağladığınız gönderilerin hiçbirinde kanıt verilmedi. Bunlar sadece sezginin gelişmesine yardımcı olan resmi argümanlardır.

İkinci sorunuzla başlayın. Denklem (1)$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Tanım gereği ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Ayar $u(t,x) = P_t f(x)$ denklemde (1), biz var $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Buraya, $A$ diferansiyel bir operatördür, bu nedenle $u(t,x)$Bazı diferansiyel denklemleri bazı başlangıç ​​koşullarıyla çözer. Hangi diferansiyel denklem bu?

To tahmin bu yaklaşım olan diferansiyel denklem$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$kullanıldı. Bunu doğrudan ($\spadesuit$), bulursun $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Bu ilişkiye dayanarak ne olduğunu tahmin edebilir misin? $A$ dır-dir?