Yörüngeleri $SO(3)$

Question

Sorumluluk reddi beyanı: bu soruda birkaç değişiklik yapıldı; bu davayı ele alıyor$k=\mathbb{R}$, karmaşık durum için başka bir tane göndereceğim.

Eylemini düşünün $SO(3)$ açık $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$homojen koordinatlarla $x_0,x_1,x_2$, şeklinde $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Bu eylemin yörüngelerinin ne olduğunu anlamak ve eylemin geçişli olup olmadığını anlamak istiyorum. $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ o zamandan beri $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$Çalışmak istiyorum $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Bunu yaptığım için basitlik için noktayı düşündüm $p=(1:0:0)$ve bunu buldum $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $Bir$ is equal to $p$}\}.$$ Sonuç olarak, bir nokta verildiğini göstermeliyim $y\in \mathbb{P}^2$bir matris var $B\in SO(3)$ öyle ki $Bp=y$yani ilk sütun $B$ eşittir $y$. Maalesef şimdi sıkıştım çünkü basitçe bir sütundan nasıl matris oluşturacağımı bilmiyorum$y$.

Answer 1

Bir matrise ihtiyacın var $B$ öyle ki $Bp$ Orantılıdır $y$ (düşünmek $y$ içinde vektör olarak $\Bbb R^3$). Yani ilk adım,$y$ ile $y/\|y\|$, böylece bir birim vektör olur. O zaman ilk sütunu olan bir rotasyon matrisine ihtiyacınız var.$y$. Diğer iki sütun ortogonal olmalıdır.$y$ve olumlu bir şekilde yönlendirilmeleri gerekir. İşte bir yapı:

En küçük girişi bırakın $y$mutlak değerde, $i$th. İzin Vermek$w = e_i$. Hesaplama$$ v = w - w \cdot y $$ ortogonal olan $y$ (neden sıfır olamaz? Bu sizin için bir alıştırma) ve sonra $$ u = v / \| v \| $$ ortogonal bir birim vektör olan $y$. O zaman izin ver$B$ sütunlu bir matris olmak $y, u, $ ve $y \times u$.

Ancak bunun her noktada işe yaradığını unutmayın $y$sadece eğrinizdekiler değil $C$, bu yüzden bunun sorununuzu nasıl çözdüğünü gerçekten anlamıyorum. Muhtemelen bir şeyi yanlış anladım.