Zemin işlevi sınırlama
CMC'den:
Gerçek sayıların karelerinin toplamı nedir $x$ hangisi için $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?
Kullanırız $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ ve sonunda sınırları anlayın $1\le x\le19$ ve $x\ge 18,x\le 2.$ Tabii ki mümkün $x$ tamsayı olmamalı, öyleyse diğer çözümleri nasıl buluruz, $19$ ve $1$?
Birisi şu çözümü yazdı:
$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ Cleary $x\geq \lfloor x \rfloor$ her şey için $x$. Böylece,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ Hangi yol açar $$1 \leq x \leq19.$$Ayrıca $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ Hangi ima $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.
Nasıl elde ettiğimizden emin değilim $\lfloor x\rfloor=17,18$ bundan.
Yanıtlar
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$
Açık ki $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.
Sonra, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} ile $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ ve $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. Lütfen kontrol edin$\ds{\color{red}{x < 0}}$.
$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$
Önsezi, çözümlerin çözümlerden çok uzaklaşmamasıdır. $x^2-20x+19=0$, yani $x=1, 19$. Öyleyse devam edin ve bu sezgiyi ifade edin! Uğraşmaya alışkın değilim$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Öyleyse daha ayrıntılı bir yönteme geçelim.
İzin Vermek $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. Yani$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ Genişleyen biz olsun $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ Biz biliyoruz ki $u \in [0,1)$. Yani bu denklemin o aralıkta bir çözümü olmalı. İki tane olacak mı? Bu, bu iki çözümün toplamının 0'dan büyük olduğu anlamına gelir. Ancak Vieta teoremine göre bu mümkün değildir. Dolayısıyla aralıkta tam olarak 1 çözüm var$[0,1)$. Bu çözüm tam olarak 0 ise, o zaman$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ Yani $n = 1,19$. Değilse, işlevin$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ işareti aralıkta tam olarak bir kez değiştirmeli $(0,1)$. Yani$f(0)f(1) < 0.$ Bunun anlamı $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ faktörlere ayırabiliriz: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (Pratikte bu kadar hassaslığa ihtiyacınız yok, sadece integral parçayı hesaplamanız gerekiyor.) Çünkü $n$ bir tamsayıdır $n=17, 18.$ (Nedenini görebiliyor musunuz? İstek üzerine bunu daha ayrıntılı açıklayacağım.)
İkame $n=17$ ve $n=18$için denklemler alıyoruz $u$sırasıyla. Ve bu, normal ikinci dereceden denklemler haline gelir.
Nereden $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$, sahip olmamız gerektiğini görüyoruz $x\gt0$dolayısıyla $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(yani pozitif, negatif değil, karekök). Bunu takip eder$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ ile (benzersiz) bir çözüme sahiptir $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ ancak ve ancak $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. Görünürdeki her şey negatif olmayan, bizde
$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$
Son satırdaki ilk ikinci dereceden eşitsizlik bize şunu söylüyor: $1\le n\le19$; ikincisi de bize söyler$n\lt9-\sqrt{61}$ veya $n\gt9+\sqrt{61}$o zamandan beri $7\lt\sqrt{61}$bize de söyler $n\lt2$ veya $n\gt16$. Bu nedenle için dört değerimiz var$\lfloor x\rfloor=n$, yani $1$, $17$, $18$, ve $19$, ile $20n-19$ karşılık gelen değerleri için $x^2$. Bu karelerin toplamı
$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$
(Son cevabın bir güç olduğu ortaya çıkması $2$ kesinlikle tesadüftür.)