$0$Operationen auf Kleeblatt und Acht

Wenn Sie gerne schwere Maschinen einführen, können Sie eine Art Floer-Homologie berechnen, wie die 'Hut'-Version der Heegaard Floer-Homologie: Diese hat Rang 2 für $S^3_0(3_1)$ und Rang 4 für $S^3_0(4_1)$Also sind sie anders.

Andererseits reicht es in Fällen wie diesen, in denen Sie ein sehr spezifisches Paar von 3-Mannigfaltigkeiten im Auge haben, oft aus, ihre Grundgruppen durch Zählen von Deckblättern endlicher Ordnung zu unterscheiden. Hier können Sie dies ausgehend von Wirtinger-Präsentationen der jeweiligen Knotengruppen von Hand herausarbeiten oder einfach SnapPy bitten, dies zu tun:

In[1]: len(Manifold('3_1(0,1)').covers(9))
Out[1]: 4


In[2]: len(Manifold('4_1(0,1)').covers(9))
Out[2]: 2

Dies zählt 9-fache Abdeckungen jeder 0-Operation, und da die Zahlen unterschiedlich sind, müssen sie unterschiedliche Grundgruppen haben.

Sie können auch geometrisch unterschieden werden. Beide Knoten sind Gattungsknoten der Gattung 1, also beide$M$ und $N$ sind Torusbündel über dem Kreis.

Das Komplement der Acht ist hyperbolisch, daher ist die Monodromie der Fibration Pseudo-Anosov. Daher die Monodromie weiter$N$ ist Anosov und $N$ hat Sol Geometrie.

Das Komplement des Kleeblatts besteht aus Seifert-Fasern, die mit einer Basisorbifalte eine Scheibe mit Kegelpunkten der Ordnung 2 und 3 faserförmig faserig sind $M$ ist Seifert über die Kugel mit Kegelpunkten der Ordnung 2, 3 und 6 gefasert.

Schon seit $M$ und $N$ sind geschlossene Verteiler, die unterschiedliche geometrische Strukturen zulassen, sie sind nicht homöomorph.

Weiterhin ist es möglich zu überprüfen, ob die Monodromie von $M$ wie ein Torusbündel die Ordnung 6 hat, die endlich ist, so $M$ in der Tat gibt eine euklidische Struktur.

Solange wir gemeinsam das Spülbecken darauf werfen, ist zu beachten, dass das Alexander-Polynom des Knotens eine Invariante des 0-Surgered-Verteilers ist. Da also die Achter- und Kleeblattknoten unterschiedliche Polynome haben, sind die 0-Operationen nicht homöomorph.

Dies ist ein topologisches Gegenstück zu Joshs geometrischem Argument.

Schon seit $H_1(M) \cong H_1(N) \cong \mathbb{Z}$gibt es nur eine 6-fache zyklische Abdeckung von jedem von ihnen; Ruf Sie an$M'$, $N'$. Beide$M'$ und $N'$ sind beide Torusbündel über dem Kreis, und ihre Monodromien sind die sechsten Potenzen der Monodromien von $M$ und $N$. Seit der Monodromie von$M$ ist eine sechste Wurzel der Identität, aber die Monodromie von $N$ ist nicht, $M'$ ist $T^3$während $N'$ ist nicht.

Dies ist etwas einfacher als die obigen Argumente. Die Doppelabdeckungen von (0,1) Operationen für diese beiden Mannigfaltigkeiten weisen unterschiedliche Homologien auf.

Die doppelte Abdeckung der (0,1) -Operation auf dem 8-Knoten-Komplement weist die Homologie Z / 5Z + Z auf. Die doppelte Abdeckung der (0,1) -Operation auf dem Kleeblattknoten-Komplement weist die Homologie Z / 3Z + Z auf.

Es ist unklar, wie gut die Unterscheidung von Mannigfaltigkeiten durch die Homologien ihrer Abdeckungen funktioniert, und es ist bekannt, dass sie bei bestimmten Sol-Torus-Bündeln versagen. Wenn dies jedoch gelingt, liefert es eine konkrete Invariante zur Unterscheidung von Mannigfaltigkeiten.

Auch ist die doppelte Abdeckung eines beliebigen beliebigen Brückenknotenkomplements S ^ 3 \ TBL (p, q) das Komplement eines nullhomologen Knotenkomplements in L (p, q). Daher hat es die Homologie Z / pZ + Z, ebenso wie die doppelte Abdeckung der (0,1) -Operation (ich verwende implizit, dass sich die (0,1) -Kurve in zyklischen Abdeckungen anhebt). In diesem Fall ist das Kleeblatt der (3,2) Zwei-Brücken-Knoten und der Acht-Knoten ist der (5,2) Zwei-Brücken-Knoten. Dies ist also eine effektive Technik zur Unterscheidung vieler Paare von (0,1) Operationen an Zweikupplungsknotenkomplementen.