AB - BA = Z Kommutator

Question

Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x$ für die es gibt $3\times3$ echte Matrizen $A$ und $B$ so dass \begin{align*} AB -BA = \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix} \end{align*} Lösung:

Idee: Eine quadratische Matrix $Z$ wird als "Kommutator" bezeichnet, wenn $Z=XY-YX$ für einige Matrizen $X$ und $Y$. Dann die Spur ($Z$) $= \sum z_{ii}=0$ weil die Spur ($XY$)$=$Spur$(YX)$ für alle Matrizen $X$ und $Y$ beide deren Produkt $XY$ und $YX$sind quadratisch. In diesem Problem die Matrix$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\\end{pmatrix}$benimm dich als Kommutator. Holen Sie sich also die Spur für beide Seiten.\begin{align*} \text{tr}(AB -BA) &= \text{tr}\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix}\\ \text{tr}(AB) - \text{tr}(BA) &= x\\ \end{align*} Wir wissen, dass es Matrizen gibt $A$ und $B$ so dass tr ($AB$) $=$ tr ($BA$). Das können wir also sagen, wenn$x=0$ dann tr$(AB) =$ tr$(BA)$gilt die obige Aussage. Wenn$x\neq 0$ dann tr$(AB)$$\ neq $ tr $ (BA) $ , die obige Anweisung gilt nicht

Wenn $ x = 0 $ existiert, gibt es $ 3 \ times3 $ echte Matrizen $ A $ und $ B $, so dass tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $
Wenn $ x \ neq0 $ nicht existiert $ 3 \ times3 $ reelle Matrizen $ A $ und $ B $, so dass tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $

Dies ist meine Antwort auf dieses Problem. Aber mein Professor sagte, ich habe nicht bewiesen, dass es Matrizen $ A, B $ gibt , die die Gleichung im Problem erfüllen. Wie beweisen wir die Existenz dieser Matrizen?

Answer 1

Sie können zwei Matrizen ausstellen $A$ und $B$ die die gegebene Gleichung erfüllen, wenn $x=0$. Sie können versuchen, das kleinere Problem zu lösen$$ XY-YX=Z:=\pmatrix{1&0\\ 0&-1}\tag{1} $$zuerst. Dann vergrößern$X$ und $Y$ zu zwei $3\times3$ Matrizen $A$ und $B$ durch Einfügen einer Nullzeile und einer Nullspalte in die Mitte jeder von $X$ und $Y$.

Lösen $(1)$können Sie eine auswählen $X$ zufällig (für diesen speziellen $Z$ im $(1)$, Nicht eine Diagonalmatrix auszuwählen; weißt du warum?) und lösen für$Y$. Schon seit$Y$hat vier Einträge, Sie haben ein System von vier linearen Gleichungen in vier Unbekannten. Es ist normalerweise lösbar, es sei denn, die Wahl von$X$ist sehr schlecht. Eine sehr gute Wahl für unser aktuelles Problem$(1)$ ist $X=\pmatrix{0&1\\ 1&0}$.

Wenn Sie mehr über die Gleichung wissen möchten $XY-YX=Z$, siehe Kahans Artikel Nur Kommutatoren haben Trace Zero .