Abel Kriterium Beweis

Question

Ich möchte folgende Aussage beweisen:

Lassen $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ eine konvergente Reihe und $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$eine monotone und begrenzte Sequenz. Dann$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ ist auch konvergent.

Ich weiß, dass es zu diesem Problem bereits einige Fragen gibt, die jedoch meist zusätzliche Annahmen enthalten (z $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ mit $b_k\geq 0$ für alle $k$).

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Mein Ansatz:

Wir definieren $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Wie$A_n$ ist konvergent gibt es eine Grenze $A$ so dass $|A_n|\leq A$ für alle $n$. Wir wissen das$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ ist konvergent und daher die Reihenfolge $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ist auch konvergent (Produkt aus zwei konvergenten Sequenzen). Lassen$n_1$ und $n_2$ zwei Indizes, so dass für alle $n,m$ mit $n>m>n_1$ es hält $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ und für alle $n,m$ mit $n>m>n_2$ es hält $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Jetzt definieren wir$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. In diesem Sinne wenden wir Abels Lemma (Summation nach Teilen) an und es folgt für alle$n>m>n_0$::

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Wenn $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ nimmt monoton ab es folgt: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Wenn $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ steigt monoton an es folgt: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Also in beiden Fällen $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ erfüllt das Cauchy-Kriterium und ist daher konvergent.

Ist das richtig oder gibt es einen eleganteren / schnelleren Ansatz?

Answer 1

Für einen anderen Ansatz können wir zeigen, dass die Folge von Teilsummen konvergiert, ohne das Cauchy-Kriterium zu verwenden. Wir haben die Existenz der Grenzen$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ und $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Summiert nach Teilen erhalten wir

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Die Serie $\sum(b_k - b_{k-1}) $ konvergiert seit $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ wie $n \to \infty$. Schon seit$(A_k)$ ist eine begrenzte Folge und die Begriffe $(b_k- b_{k+1})$ sind alle das gleiche Zeichen, folgt daraus $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ ist konvergent.

Daher die Serie $\sum a_kb_k$ konvergiert seit

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Es folgt aus Dirichlets Kriterium. In der Tat, nehmen wir an$b_k \le b_{k+1}$ und $\lim b_k = b$.

Dann

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

Die erste Summe konvergiert, da es sich um eine Hypothese handelt, und die Konvergenz der zweiten Summe folgt aus dem oben genannten Satz.

Dies ist jedoch keine Verbesserung gegenüber Ihrer Argumentation, da der übliche Beweis des Dirichlet-Kriteriums durch Teilesummierung erfolgt.