Ableiten einer Potenzreihe

Question

Ich möchte die Funktion finden, die durch dargestellt wird $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$.

Folgendes habe ich bisher getan:

beginnen mit $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$als Definition einer geometrischen Reihe. Wir können dann die Ableitung der Reihe nehmen und sie mit z multiplizieren$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$. Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, erhalten wir$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$.

Muss sich der Index ändern, wenn wir dies integrieren, oder ist dies die endgültige Lösung und nichts ändert sich?

Answer 1

Es gibt eine Möglichkeit, diese Frage der Neuindizierung zu vermeiden.

Ich werde es etwas schwieriger machen $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$.

Schreiben $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ das heißt $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ aus denen $a=3$, $b=1$ und $c=0$. Damit$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ was schreiben kann $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ das heißt $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$