Ableitung der Heaviside-Schrittfunktion

Question

Die Heaviside-Schrittfunktion ist definiert als $$H(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x<0 \\ 1 & \text{if }x\geq0\end{cases}$$ Stellen Sie auch ein $K(x)=H(2x)$ für alle $x\in\mathbb R$.

Nun ist bekannt (und kann leicht bewiesen werden), dass die Ableitung von $H$ im Sinne von Verteilungen ist das Dirac-Delta $\delta_0\,$:: $$H' = \delta_0 \;.$$ Mit Standard-Kalkülregeln würde ich dann erwarten $$K' = 2\,H' = 2\,\delta_0 $$ aber das stimmt natürlich seitdem nicht mehr $K=H$.

Ich möchte verstehen, warum ich keine Standardkalkülregeln verwenden kann und welche Regeln beim Umgang mit Verteilungsderivaten fehlschlagen (und welche nicht).

Answer 1

Die Verwendung der Kettenregel gibt Ihnen $$ K'(x) = \frac{d}{dx} H(2x) = 2 H'(2x) = 2\delta(2x) = 2\cdot\frac12\delta(x) = \delta(x) $$ schon seit $\delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x).$