Ableitung der Überlebenskopula

Question

$$ \begin{align}F(x,y) &= P(X\leq x, Y\leq y) \\ &= C(F(x), F(y)) \end{align}$$

Die Kopula einer bivariaten Verteilung ist gleich ihrer CDF,$C(u,v) = F(x,y)$. Die Dichte der CDF der Daten kann daher ausgedrückt werden als

$$f(x,y) = c(u,v) \times f_X(x) f_Y(y)$$ wo $c(u,v)$ ist die Kopuladichte und $f_X(x)$ ist eine marginale.

Wenn $\hat{C}(u,v)$ist die Überlebenskopula zur Bestimmung

$$ \begin{align}\bar{F}(x,y) &= P(X> x, Y > y) \\ &= \hat{C}(1-F(x), 1-F(y)) \end{align}$$

Wie ist die erste Gleichung der gewöhnlichen Kopula? $C(u,v)$, verbunden mit der Überlebenskopula als

$$\hat{C}(u,v) = u + v - 1 + C(1-u,1-v)$$

sind $u$ und $v$ lediglich Vektoren, die die (Rang-) Beobachtungen der einheitlichen Ränder enthalten?

Eine Ableitung in Integralen und Wahrscheinlichkeiten (anstatt$F$s) wäre gut.

Answer 1

Hier ist eine rein algebraische und völlig strenge Demonstration.

Als Notationssache, wenn $\mathcal A\subset\Omega,$die Anzeigefunktion von$\mathcal A$ ist definiert durch

$$\mathscr{I}_{\mathcal{A}}(\omega)=\left\{\begin{aligned}1 & \quad\omega\in \mathcal{A}\\0&\quad\text{otherwise.}\end{aligned}\right.$$

Indikatorfunktionen verbinden Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen, denn wann$\Omega$ ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (mit Wahrscheinlichkeitsmaß $\mathbb P$) und $\mathcal A$ ist messbar (was für unsere Zwecke lediglich bedeutet, dass es eine Wahrscheinlichkeit hat),

$$\Pr(\mathcal A) = \int_{\Omega} \mathscr{I}_{\mathcal{A}}\,\mathrm{d}\mathbb{P}.\tag{*}$$

Indikatorfunktionen genießen auch enge, einfache Beziehungen zu festgelegten Operationen. Speziell,

1. $\mathscr{I}_{\Omega\setminus \mathcal{A}} = \mathscr{I}_{\mathcal{A}^\prime} = 1 - \mathscr{I}_{\mathcal A}.$ Set-Komplemente entsprechen numerischen Komplementen (Subtrahieren von$1$).

2. $\mathscr{I}_{\mathcal{A} \cap \mathcal{B}} =\mathscr{I}_{\mathcal A}\mathscr{I}_{\mathcal B}.$ Schnittpunkt entspricht Multiplikation.

Die Frage betrifft $(X,Y),$ eine Zufallsvariable mit kontinuierlichen Rändern $F_X$ und $F_Y.$ Es gibt zwei entsprechende Zufallsvariablen in der Kopula: $(U,V),$ definiert von $U=F_X(X)$ und $V=F_Y(Y).$ Um die Verteilung von zu studieren $(X,Y)$Wir werden wie immer zwei beliebige Zahlen betrachten $x$ und $y.$ Lassen $F_X(x)=u$ und $F_Y(y)=v,$ wir sehen $u$ und $v$sind auch Zahlen zwischen$0$ und $1;$ das ist, $(u,v)\in [0,1]^2.$ Die Ereignisse, die üblicherweise mit diesen Nummern verbunden sind, sind $$\mathcal{A} = X\le x = U \le u$$ und $$\mathcal{B} = Y\le y = V \le v.$$

Wenden wir uns mit diesen Vorbereitungen der Frage zu. Sie fragen nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses$U\gt u,V\gt v.$ Dies ist der Schnittpunkt der Ergänzungen, $ \mathcal{A}^\prime \cap \mathcal{B}^\prime.$ Zuerst beschäftigen $(1)$ mit den Ergänzungen umgehen und dann $(2)$ um mit der Kreuzung umzugehen, die wir erhalten

$$\mathscr{I}_{\mathcal{A}^\prime \cap \mathcal{B}^\prime} = \left(1 - \mathscr{I}_{\mathcal{A}}\right)\left(1 - \mathscr{I}_{\mathcal{B}}\right).$$

Der Rest ist so einfach, dass er trivial ist: Die einzige Arbeit, die wir tun müssen, ist (1) dieses Produkt algebraisch zu erweitern und (2) die Linearität der Erwartung anzuwenden:

$$\begin{aligned} \hat C(u,v) &= \Pr(U\gt u,V\gt v)\\& = \Pr\left(\mathcal{A}^\prime \cap \mathcal{B}^\prime\right)\\ &= \iint_{[0,1]^2} \mathscr{I}_{\mathcal{A}^\prime \cap \mathcal{B}^\prime}(u,v)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &= \iint_{[0,1]^2} \left( 1 - \mathscr{I}_{\mathcal{A}} - \mathscr{I}_{\mathcal{B}} + \mathscr{I}_{\mathcal{A}}\mathscr{I}_{\mathcal{B}} \right)(u,v)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &= \iint_{[0,1]^2} 1\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v - \iint_{[0,1]^2}\mathscr{I}_{\mathcal{A}}(u,v)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \\&\quad\quad\quad - \iint_{[0,1]^2}\mathscr{I}_{\mathcal{B}}(u,v)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v + \iint_{[0,1]^2}\mathscr{I}_{\mathcal{A}}\mathscr{I}_{\mathcal{B}}(u,v)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &= 1 - \Pr(U\le u) - \Pr(V\le v) + \Pr(U\le u, V\le v)\\ &= 1 - C(u,1) - C(1,v) + C(u,v)\\ &= 1 - u - v + C(u,v). \end{aligned}$$

Die ersten Auftritte der Überlebenskopula $\hat C$ und Kopula $C$sind ihre Definitionen. Durch den Bau,$$C(u,1)=\Pr(U\le u)=\Pr(F_X(X)\le F_X(x)) =\Pr(X\le x)=F_X(x)=u$$ und ebenso $C(1,v)=v,$ wodurch die endgültige Gleichheit gerechtfertigt wird.

Eine äquivalente Aussage kann durch Ändern erhalten werden$u$ zu $1-u$ und $v$ zu $1-v$ (beide bleiben dazwischen $0$ und $1,$ nach Bedarf), ergibt

$$\begin{aligned} \hat C(1-u,1-v) &= 1 - (1-u) - (1-v) + C(1-u,1-v) \\&= u+v-1 + C(1-u,1-v).\end{aligned}$$

Das scheint das zu sein, was mit der Frage beabsichtigt war.

Es könnte lehrreich sein, dies mit dem Abschnitt "Intuition aus algebraischer Manipulation" unter zu vergleichen https://stats.stackexchange.com/a/43075/919 und vergleichen Sie es dann mit der Visualisierung unter "Intuition from Geometry" im selben Beitrag: Es ist dieselbe zugrunde liegende Idee.