Abstand zur „Grenze“ eines polyedrischen Komplexes

Question

Angenommen, ich habe einen polyedrischen Komplex $\{P_1, \ldots, P_k\}$ und lass

$$S := \bigcup_{i = 1}^k P_i$$

Ich interessiere mich für eine Funktion, die die Entfernung von einem Punkt misst $x \in S$an die "Grenze" meines polyedrischen Komplexes. Mit anderen Worten, die niederdimensionalen Flächen. Genauer gesagt, wenn$x \in \text{int}(P_i)$ für einige $i$, dann sollte meine Funktion die Entfernung von zurückgeben $x$ an die Grenze von $P_i$. Andernfalls,$x$ liegt auf einer niederdimensionalen Fläche und die Funktion sollte zurückkehren $0$.

Gibt es einen Namen für diese Funktion? Ist es in der Literatur erschienen und wurde es schon einmal untersucht? Danke im Voraus!

Answer 1

Gute Frage! Ich bin mir nicht sicher, ob es eine Definition speziell für Polyeder gibt, aber hier ist, was ich aus einer konvexen Analyse weiß:

Die "Distanzfunktion zum Set $C$"wird bezeichnet $d_C(x)=\inf_{c\in C}\|x-c\|$. Es gibt einige wirklich gute Ergebnisse für wann$C$ist nicht leer, geschlossen und konvex. Sobald wir uns jedoch darauf beschränken, den Fall zu prüfen, wann$C$ ist also die Grenze einer anderen Menge $C$ist häufig nicht konvex. zB das geschlossene$\ell_1$ Kugel ist ein konvexes Polyeder, aber seine Grenze ist nicht konvex.