abwechselnde diskrete Verteilung

Question

Nehmen wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion $p = \{p_{1}, p_{2}, \dots \}$mit einer unendlichen Unterstützung. Soweit ich sehen kann, haben alle diskreten, unendlich unterstützten Wahrscheinlichkeiten in Wikipedia die folgende Eigenschaft: Ausgehend von einer bestimmten Zahl$k$ wir haben: $$ p_{i+1} \leq p_{i} $$

Die Frage: Ist es möglich, eine diskrete, unendlich unterstützte Wechselverteilung zu haben, dh es gibt keine endliche $k$ so dass die obige Gleichheit gilt?

Ich habe versucht, das Problem mit dem Ratio-Test für konvergente Serien zu lösen.

Answer 1

Im Wesentlichen fragen Sie, ob es möglich ist, eine nicht monotone Folge positiver Zahlen zu haben, die sich summieren $1$. Wir können die Sequenz nehmen$\left\{2^{-k}\right\}^{\infty}_{k=1}$ und kehre die Reihenfolge jedes Begriffspaares um, dh

$$\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{16},\frac{1}{8},...\right\}.$$

Dies ändert nichts an der Summe, verhindert jedoch, dass die Sequenz nach einer endlichen Anzahl von Begriffen monoton wird.

Answer 2

Ja, ein einfaches Beispiel wäre, die Masse nur über die geraden Zahlen zu verteilen.

Das heißt, lassen Sie $p_{2n} = 2^{-n}$ (zum $n \geq 1$) und $p_{2n+1} = 0$.