Algebraic Topology Hatcher Kapitel 3.1 Problem 13
Das Problem: Lassen Sie $\langle X, Y\rangle$ bezeichnen den Satz von basotpunkterhaltenden Homotopieklassen von basepunkterhaltenden Karten $X\rightarrow Y$. Zeigen Sie mit Satz 1B.9, dass wenn$X$ ist ein verbundener CW-Komplex und $G$ ist eine abelsche Gruppe, dann die Karte $\langle X, K(G, 1)\rangle \rightarrow H^1(X;G)$ eine Karte senden $f: X \rightarrow K(G, 1)$ zum induzierten Homomorphismus $f_*:H_1(x) \rightarrow H_1(K(G, 1))\approx G$ ist eine Bijektion, bei der wir uns identifizieren $H^1(X;G)$ mit Hom$(H_1(X), G)$ über den universellen Koeffizientensatz.
Anmerkungen: Mit dem universellen Koeffizientensatz können wir schließen, dass es eine surjektive Karte gibt $h:H^1(X;G) \rightarrow Hom(H_1(X), G)$. $K(G, 1)$ ist jeder Raum, zu dessen Grundgruppe isomorph ist $G$und hat zusammenziehbaren universellen Abdeckraum. In Satz 1B.9 heißt es: Sei X ein zusammenhängender CW-Komplex und sei$Y$ sei ein $K(G, 1)$. Dann jeder Homomorphismus$\pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$ wird durch eine Karte induziert $(X, x_0) \rightarrow (Y, y_0)$ Das ist einzigartig bis zur Homotopie-Befestigung $x_0$. Die induzierte Karte in diesem Problem stammt wahrscheinlich aus diesem Satz.
Um zu beweisen, dass die Karte im Problem bijektiv ist, können wir uns für Surjektivität und Injektivität entscheiden. Injektivität ist offensichtlich, weil wenn$f=g$ dann $f_* = g_*$. Ich bin mir nicht sicher, wie ich Surjektivität beweisen würde ...
Danke!
Antworten
Angenommen, ich habe eine Karte $f:X \rightarrow K(G,1)$, $X$in Verbindung gebracht. Gegeben eine zellulare Karte$S^k \rightarrow X$, $k>1$Ich kann den Komplex betrachten $X'$erhalten durch Anbringen dieser Zelle. Ich kann zwei Fragen stellen: Kann ich verlängern$f$ zu $X'$ und wenn ja, ist dies bis zu einem Homotopie-Verwandten einzigartig $X$?
Wir können konstruieren $K(G,1)$ als Zellkomplex mit 2-Skelett, gegeben durch einen Kreiskeil, einen für jedes Element von $G$, mit Festplatten über alle Beziehungen in $G$. Außerdem ist jeder verbundene CW-Komplex eine Homotopie, die einer mit einem 1-Skelett und einem Kreiskeil entspricht, indem einfach ein maximaler Baum im 1-Skelett zusammengezogen wird. Wir können wieder durch einen Homotopie-äquivalenten Komplex ersetzen, um sicherzustellen, dass die 2-Scheiben über Sequenzen von Schleifen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn um die Kreise im 1-Skelett angebracht sind. Dies folgt aus unserer Kenntnis der Grundgruppe des Kreiskeils.
Damit soll deutlich gemacht werden, wie eine Karte in eine definiert wird $K(G,1)$ einen Homomorphismus gegeben $\pi_1(X) \rightarrow K(G,1)$. Angenommen, wir haben$X$unter den Bedingungen, die wir gerade dargelegt haben. Van Kampen sagt uns, dass die grundlegende Gruppe von$X$ hat Präsentation $\langle e^1_i | \phi(e^2_j) \rangle$ bei dem die $e^1$ sind die 1-Zellen und die $\phi$ sind die charakteristischen Karten, die als Wörter geschrieben sind, die entsprechen, wie sie sich um die 1-Zellen wickeln.
Nun ein Homomorphismus gegeben $f:\langle e^1_i | \phi(e^2_j) \rangle \rightarrow K(G,1)$können wir eine Karte auf dem 2-Skelett von definieren $X$ durch Senden der Zelle $e^1_i$ zu $f(e^1_i)$ und die Festplatte $e^2_j$ auf die Platte, die der Beziehung entspricht $\phi(e^2_j)$ weil jede 2-Zelle in $X$ entspricht einer Beziehung in $\pi_1(X)$ das bleibt erhalten von $f$ schon seit $f$ ist ein Homomorphismus.
Lassen Sie uns die Notation missbrauchen und diese Karte aufrufen $f:X^2 \rightarrow K(G,1)$vom 2-Skelett zum $K(G,1)$. Nun können wir zur Frage des ersten Absatzes zurückkehren. Wählen Sie eine 3-Zellen-Verbindung über$\psi$Können wir diese Karte entlang dieser Zelle erweitern? Nun können wir verlängern$f$ über die 3-Zellen, wenn und nur wenn, $f \circ \psi$ist nullhomotopisch (dies ist genau die universelle Eigenschaft des Kegels auf einer Karte). Nun, der große Teil über$K(G,1)$ist, dass alle höheren Homotopiegruppen verschwinden. Daher haben wir kein Hindernis für diese Erweiterung. Ebenso können wir Zelle für Zelle erweitern, bis wir erweitert haben$f$ zu einer Karte $f:X \rightarrow K(G,1)$und die zelluläre Approximation sagt uns, dass die Karte auf fundamentalen Gruppen dieselbe ist, da wir das 2-Skelett nicht geändert haben. Das ist Surjektivität in Ihrer Frage.
Die zweite Frage ist nun, ob diese Erweiterung homotopisch anders gewesen sein könnte. Nehmen wir an, ich erweitere$f$ zu $f': X \cup e^k \rightarrow K(G,1)$ und $f'':X \cup e'^k \rightarrow K(G,1)$. Einen Homotopie-Verwandten haben$X$ zwischen diesen beiden befindet sich genau die Information einer Karte $X \cup e^k \cup e'^k \cup e^{k+1} \rightarrow K(G,1)$, bei dem die $e^{k+1}$ ist entlang der Kugel befestigt $e^k \cup e'^k$, so dass es beschränkt auf $f'$ und $f''$ auf den jeweiligen Subkomplexen.
Dies ist jedoch nur eine Version der vorherigen Frage! Jetzt möchten wir eine Karte entlang eines erweitern$(k+1)$-Zelle, was wiederum möglich ist, da die Homotopiegruppen der Codomäne oberhalb von 1 verschwinden.
Wir sehen also, dass die Erweiterung $f$Wir haben es uns ausgedacht, es ist homotopisch einzigartig, unabhängig von den Entscheidungen, die wir getroffen haben. Dies gibt uns fast Injektivität. Alles was übrig bleibt ist zu überprüfen, ob eine Karte vorhanden ist$h:X \rightarrow K(G,1)$ kann zu einer Karte auf einem 2-Skelett homotopiert werden, die mit der Definition der damit verbundenen kontinuierlichen Funktion übereinstimmt $f: \pi_1(X) \rightarrow G$ denn wenn es in dieser Form vorliegt, kann es durch die Erweiterung der Karte auf dem 2-Skelett Zelle für Zelle entstehen, was wir gezeigt haben, dass es homotopisch einzigartig ist.
Erstes Homotop $h$es ist also eine zellulare Karte. Dann folgt dies auf dem 1-Skelett aus der Tatsache, dass wenn a$1$-Zelle wird um k 1-Zellen von abgebildet $K(G,1)$ über $g_1 ^\pm \dots g_n ^\pm$ wo $\pm$ Gibt an, auf welche Weise wir die Zelle umschließen. Die auf diesen Kreis beschränkte Karte kann homotopiert werden, sodass sie über das Wort umbrochen wird $(\pm g_1) \dots (\pm g_n)$, wo $\pm$ vorne bedeutet, ob wir das Gegenteil von nehmen sollen $g_n$oder nicht. Dies folgt aus der Tatsache, dass$(-g)g$ ist eine Beziehung in $G$ und daher fügen wir eine Scheibe entlang dieser Beziehung in hinzu $K(G,1)$.
Vermutlich könnte man auch direkt für die 2-Zellen argumentieren, aber das wäre wahrscheinlich eklig. Stattdessen können wir die obige Idee, Karten erneut zu erweitern, wieder verwenden! Wir haben gezeigt, dass es möglich ist, die Karte vom 2-Skelett aus zu homotopieren, so dass 1-Zellen über Wörter in Sammlungen von 1-Zellen gewickelt werden$G$.
Erwägen $X^2 \times I$ und sein Subkomplex gegeben durch $(X^2 \times I) ^2$. Die soeben beschriebene Homotopie gibt eine Karte von diesem Subkomplex an$K(G,1)$ einschränken auf $f$ auf $X^2 \times \{0\}$ und $g$ auf $X^2 \times \{1\}$. Können wir diese Karte auf alle erweitern?$X^2 \times I$? Nun, das einzige, was noch hinzugefügt werden muss, sind 3-Zellen, und wir wissen beide, dass die Erweiterung auf 3-Zellen kein Problem darstellt, wenn die Codomäne vorhanden ist$K(G,1)$.
Daher haben wir eine Homotopie von $g$ zu $f$auf dem 2-Skelett. Durch Homotopieerweiterung haben wir eine Homotopie von$g$ im Großen und Ganzen definiert $X$ zu etwas, das mit übereinstimmt $f$auf dem 2-Skelett. Und jetzt impliziert die homotopische Einzigartigkeit, die sich aus früheren Ergebnissen ergibt, Injektivität.