Allgemeine Form des Zentralisierers
Wenn wir sagen $B = J_{a_1}(\lambda_1) \oplus J_{a_2}(\lambda_2) ... \oplus J_{a_n}(\lambda_n)$ Ich versuche die allgemeine Form des Zentralisierers von zu finden $B$. Zuerst, wenn unsere Lambdas verschieden sind, aber auch, wenn sie es nicht sind und wie groß die Dimension in jedem Fall ist.
Also weiß ich, dass B ein sein sollte $\sum a_i \times \sum a_i $ Matrix mit Einträgen $\lambda_i$ auf den Diagonalen, aber dann bin ich nicht sicher, wie man den Zentralisierer für jeden Fall findet?
Ich bin mir nicht sicher, wie ich anfangen soll und ob mich jemand in eine gute Richtung weisen könnte, wäre dankbar.
Antworten
Ich werde die Sprache der Module verwenden.
Eine Auswahl an linearen Operatoren $A$ auf einem Vektorraum $V$ ist gleichbedeutend mit machen $V$ ein $\mathbb{C}[T]$-Modul, wo $T$ handelt vom Betreiber $A$. Schon seit$\mathbb{C}[T]$ ist eine PID, so gilt der Grundsatz von endlich erzeugten Modulen über PIDs $V$ ist isomorph als $\mathbb{C}[T]$-Modul zu einer direkten Summe von zyklischen Submodulen, und zyklische Module (nach chinesischem Restsatz) sind WLOG der Form $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d$. Wenn wir die Matrix für die Multiplikation mit schreiben$T$ auf einem solchen Modul in Bezug auf die Leistungsbasis $\{1,T,\cdots,T^{d-1}\}$ wir bekommen die $d\times d$ Jordan-Block, der dem verallgemeinerten Eigenwert zugeordnet ist $\lambda$. Die Komponente, die alle direkten Summanden (oder äquivalent alle zyklischen Submodule) mit einem gegebenen Wert von enthält$\lambda$ bildet den verallgemeinerten Eigenraum von $V$ verbunden sein mit $\lambda$.
Der Zentralisierer von $A$ entspricht dem Auffinden der Endomorphismen von $V$ Als ein $\mathbb{C}[T]$-Modul.
Beachten Sie, dass $\hom$ ist verteilend, jedes Element von $\hom(\bigoplus V_i,\bigoplus V_j)$ kann als Matrix geschrieben werden, deren $ij$-Eintrag ist ein Homomorphismus $V_i\to V_j$. So finden Sie die Modulendomorphismen von$V$müssen wir einfach alle möglichen Modulhomomorphismen bestimmen $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d\to \mathbb{C}[T]/(T-\mu)^k$. Eine solche Karte ist$T$-äquivariante und ihr Bereich ist das zyklische Submodul, das durch das Bild von erzeugt wird $1$. Die einzige Bedingung ist das$1$ muss an ein Element gesendet werden, das von vernichtet wird $(T-\lambda)^d$. Entweder$k\le d$ oder das heißt $1$ wird an etwas im zyklischen Submodul gesendet $(T-\lambda)^{k-d}$ welches Dimension hat $d$ innerhalb $(T-\lambda)^k$. Somit ist der Vektorraum von Modulhomomorphismen$\min\{d,k\}$ wenn $\lambda=\mu$sonst $0$.
Also, wenn die Jordan-Blöcke damit verbunden sind $\lambda$ Größen haben $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$ dann ist die Dimension der Endomorphismus-Algebra / des Zentralisierers $\sum_{i,j}\min\{d_i,d_j\}$ Das ist die Summe der Terme im Array
$$ \begin{array}{cccc} d_1 & d_2 & \cdots & d_n \\ d_2 & d_2 & \cdots & d_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_n & d_n & \cdots & d_n \end{array} $$
was gleich ist $\sum_{j=1}^n (2j-1)d_j$.
Im Allgemeinen nehmen wir diese Summe für jeden verallgemeinerten Eigenwert $\lambda$ und kombinieren.
Um die Zentralisierungs- / Endomorphismus-Algebra als Algebra zu beschreiben, zerlegen Sie sie zunächst als direkte Summe der jeweils zugeordneten Subalgebren $\lambda$Schreiben Sie dann Elemente dieser Subalgebren als Matrizen, deren Einträge Elemente von Quotientenmodulen sind $(T-\lambda)^{k-d}/(T-\lambda)^k$ (Dolmetschen $k-d$ wie $0$ wenn $k\le d$) für die verschiedenen Möglichkeiten von $d$ und $k$.
Hier ist ein Beispiel. Betrachten Sie eine Matrix mit Jordan-Zerlegung
$$ \color{Red}{J_1(0)\oplus J_1(0)\oplus J_2(0)}\oplus \color{Green}{J_3(i)\oplus J_4(i)} \oplus \color{Blue}{J_5(\omega)} $$
- Verbunden sein mit $\color{Red}{\lambda=0}$ ist $2\ge1\ge1$ mit Summe $\sum_{j=1}^3 (2j-1)d_j=(1)2+(3)1+(5)1=\color{Red}{10}$.
- Verbunden sein mit $\color{Green}{\lambda=i}$ ist $4\ge3$ mit Summe $\sum_{j=1}^2(2j-1)d_j= (1)4+(3)3=\color{Green}{13}$.
- Verbunden sein mit $\color{Blue}{\lambda=\omega}$ ist $5$ mit Summe $\sum_{j=1}^1 (2j-1)d_j=(1)5=\color{Blue}{5}$.
Somit hat der vollständige Zentralisierer eine Dimension $\color{Red}{10}+\color{Green}{13}+\color{Blue}{5}=28$.
Das Ergebnis in Bezug auf Matrizen ist unter Forschern bekannt. Ich habe es auch in einem Lehrbuch für Studenten dokumentiert gesehen, kann mich aber nicht an den Titel des Buches erinnern.
Annehmen $B$ ist die direkte Summe von $r$ Jordan bildet sich $J_1,J_2,\ldots, J_r$jeweils mit einem anderen Eigenwert und nehmen jede Jordan-Form an $J_k$ hat $b_k$ Jordan blockiert für den Eigenwert $\lambda_k$ von Multiplizitäten $m_{k1}\ge m_{k2}\ge\cdots\ge m_{kb_k}$beziehungsweise. Das heißt, nehmen wir an$$ B=\bigoplus_{k=1}^rJ_k=\bigoplus_{k=1}^r\underbrace{\left(J(\lambda_k;m_{k1})\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k;m_{kb_k})\right)}_{J_k}\tag{1} $$ wo $J(\lambda;m)$ bezeichnet einen oberen dreieckigen Jordan-Block mit einem Eigenwert $\lambda$ der Vielfalt $m$.
Zum Beispiel in der $9\times9$ Jordanien Form $B$ unten haben wir $J_1=J(1;3)\oplus J(1;2)$ und $J_2=J(0;2)\oplus J(0;1)\oplus J(0;1)$. $$ B=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \hline &&&1&1\\ &&&0&1\\ \hline &&&&&0&1\\ &&&&&0&0\\ \hline &&&&&&&0\\ \hline &&&&&&&&0 \end{array}\right]. $$ Die gleichung $BA=AB$ reduziert sich somit blockweise auf Gleichungen der Form $$ J(\lambda;m)X=XJ(\mu;n) $$ für ein $m\times n$ Matrix $X$. Annehmen, dass$m\ge n$ (der Fall $n\le m$kann ähnlich behandelt werden). Durch Subtrahieren beider Seiten von$\mu I$, wir bekommen $J(\lambda-\mu;m)X=XJ(0;n)$. Wann$\lambda\ne\mu$, wir haben $J(\lambda-\mu;m)^nX=XJ(0;n)^n=0$ und daher $X$muss Null sein. Wann$\lambda=\mu$, wir haben $J(0;m)X=XJ(0;n)$. Insbesondere erhalten wir zwei Gleichheiten:\begin{align} x_{i+1,j+1}=e_i^TJ(0;m)Xe_{j+1}&=e_i^TXJ(0;n)e_{j+1}=x_{ij},\\ J(0;m)Xe_1&=XJ(0;n)e_1=0.\\ \end{align} Der erste bedeutet das $X$ ist Toeplitz, während die zweite bedeutet, dass die Aufwärtsverschiebung der ersten Spalte von $X$ist Null. Daraus folgt, dass alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale von$X$ sind Null, dh $X$ist eine obere dreieckige Toeplitz-Matrix. Umgekehrt kann man überprüfen, ob jede obere dreieckige Toeplitz-Matrix$X$ erfüllt die Gleichung $J(0;m)X=XJ(0;n)$.
Daher sind die Lösungen zu $BA=AB$ hat die allgemeine Form $\bigoplus_{k=1}^rM_k$, wo jeder $M_k$ hat die gleiche Größe wie $J_k$und, wenn es auf die gleiche Weise wie partitioniert ist $J_k$ (so dass die diagonalen Unterblöcke von $M_k$ hat Größen $m_{k1},\ldots,m_{kb_k}$ jeweils), seine $(i,j)$-th Unterblock ist eine obere dreieckige Toeplitz-Matrix in Form von $$ M_{kij}=\begin{cases} \pmatrix{T_{kij}\\ 0}&\text{when } m_{ki}>m_{kj},\\ T_{kij}&\text{when } m_{ki}=m_{kj},\\ \pmatrix{0&T_{kij}}&\text{when } m_{ki}<m_{kj},\\ \end{cases}\tag{2} $$ wo $T_{kij}$ bezeichnet eine obere dreieckige quadratische Toeplitz-Matrix der Größe $\min(m_{ki},m_{kj})$.
Zum Beispiel die Zentralisierer unserer Vorgänger $9\times9$ Beispiel haben die folgende allgemeine Form: $$ A=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} a&b&c&d&e\\ 0&a&b&0&d\\ 0&0&a&0&0\\ \hline 0&f&g&h&l\\ 0&0&f&0&h\\ \hline &&&&&p&q&s&t\\ &&&&&0&p&0&0\\ \hline &&&&&0&u&v&w\\ \hline &&&&&0&x&y&z\\ \end{array}\right]. $$ Mit $(1)$ und $(2)$ist die Dimension des Zentralisierer-Unterraums gegeben durch $$ \sum_{k=1}^r\sum_{i,j=1}^{b_k} \min (m_{ki}, m_{kj}) =\sum_{k=1}^r\sum_{i=1}^{b_k}(2i-1)m_{ki}, $$ das ist gleich $(1\times3+3\times2)+(1\times2+3\times1+5\times1)=19$ im obigen Beispiel.