Alternative Definition einer Cauchy-Sequenz

Question

Kürzlich fand ich eine angebliche alternative Definition für eine Cauchy-Sequenz in $\mathbb{R}^n$ gegeben durch:

Eine Sequenz ist eine Cauchy-Sequenz, wenn ein Radius gegeben ist $r$ und ein Index $N$, die ganze Sequenz ab $x_N$ ist in einer Kugel mit einem solchen Radius, das heißt, $\{x_i\}_{i = N}^\infty \in B(c, r)$, wo $c$ ist das Zentrum des Balls.

Ich habe große Probleme, das zu beweisen. Muss ich das sagen$c$ist die Grenze der Sequenz? Bedeutet dies nicht bereits, dass die Sequenz Cauchy ist, da jede konvergente Sequenz eine Cauchy-Sequenz in ist?$\mathbb{R}^n$?

Answer 1

Sie müssen nicht einmal die Tatsache nutzen, dass Konvergenz stattfindet, aber Ihre Aussage sollte lauten:

Eine Sequenz ist Cauchy iff für jede $r > 0$ es gibt $N$ so dass $\{x_n\}_{n \geq N} \subset B(c, r)$ für einige $c$.

Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Quantifizierer geringfügig von der von Ihnen geschriebenen abweicht.

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So können Sie Äquivalenz zeigen:

Wenn $\{x_k\}$ ist Cauchy, dann für jeden $r > 0$, es gibt $N$ groß, so dass: $$\sup_{n, m \geq N} |x_n - x_{m}| \leq r. $$ Insbesondere wenn $m \geq N$, dann $|x_n - x_N| \leq r$, und so $\{x_n\}_{n \geq N} \subset B(x_N, r)$.

Auf der anderen Seite, wenn die Schlussfolgerung gilt, dann lassen Sie $\epsilon > 0$. Wir haben das$\{x_n\}_{n \geq N} \subset B(c, \tfrac{\epsilon}{2})$, für einige $c$. Beachten Sie jedoch, dass dies impliziert: für jeden$n, m \geq N$:: $$ |x_n - x_m| \leq |x_n - c| + |x_m - c| \leq \epsilon. $$ Und so $\{x_k\}$ ist Cauchy.