AMC 12B Problem 16 2020 AOPS-Lösung

Question

Eine Urne enthält eine rote und eine blaue Kugel. In der Nähe liegt eine Schachtel mit zusätzlichen roten und blauen Kugeln. George führt die folgende Operation viermal aus: Er zieht zufällig einen Ball aus der Urne, nimmt dann einen gleichfarbigen Ball aus der Schachtel und legt die beiden passenden Bälle in die Urne zurück. Nach den vier Iterationen enthält die Urne sechs Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Urne drei Kugeln jeder Farbe enthält?

Ich habe dieses Problem mit roher Gewalt gelöst. Ich möchte versuchen, die Lösungen auf der Website zu verstehen.

Da wir mit einem roten (R) und einem blauen (B) beginnen, würden wir die Permutationen von RRBB in den nächsten 4 Ziehungen benötigen. Ich habe Probleme zu verstehen, warum die 6 Permutationen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben würden$1/30$ (Wir können 3 Paare finden, die aufgrund der Symmetrie gleich sind.) Ich verstehe die Erklärung in der AOPS-Lösung (Lösung 2) nicht wirklich.

Quelle: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2020_AMC_10B_Problems/Problem_18

Answer 1

Der Kern von Lösung 2 ist folgender:

Stellen Sie sich vor, Sie erzwingen dies brutal. Es gibt 6 verschiedene Ordnungen, in die Rs und Bs eingehen können. Also nehmen wir eine, sagen wir RRBB, und berechnen die Wahrscheinlichkeit für diese bestimmte Reihenfolge:$$ \frac12\cdot\frac23\cdot\frac14\cdot\frac25 $$ Nehmen Sie jetzt eine andere Bestellung auf, sagen Sie BRBR: $$ \frac12\cdot\frac13\cdot\frac24\cdot\frac25 $$Sehen Sie die Ähnlichkeiten? Wir bekommen immer$2\cdot3\cdot4\cdot5$im Nenner, weil sich die Anzahl der Bälle in der Urne auf dieselbe Weise ändert, unabhängig davon, was wir ziehen. Und wir bekommen immer in einer bestimmten Reihenfolge zwei$1$'s (vom ersten roten Ball und vom ersten blauen Ball) und zwei $2$'s (vom zweiten roten Ball und vom zweiten blauen Ball) im Zähler.

Lösung 2 von AoPS zeigt lediglich dieses genaue Muster auf, ohne jedoch zuerst die Bewegungen der Brute-Force-Methode durchzugehen.