Approximation einer Fourier-Transformation

Question

Angenommen, die Fourier-Transformation $\hat{f}(k)$ (mit $k \in \mathbb{R}^d$) gegeben ist, und man beabsichtigt, einige Informationen über sein Gegenstück zum Positionsraum zu erhalten $f(x)$. Wenn die analytische Berechnung der inversen Fourier-Transformation von$\hat{f}(k)$ ist nicht möglich, kann man möglicherweise noch nützliche Informationen extrahieren, indem man sich auf bestimmte Regionen von spezialisiert $k$Raum; In der statistischen Physik ist es beispielsweise häufig üblich, die "makroskopischen" Eigenschaften von z. B. Korrelationsfunktionen durch Untersuchung der zu untersuchen$k\to 0$Grenze ihrer Fourier-Transformationen. Es scheint mir, dass ein solcher Prozess etwas analog zu der Betrachtung der Taylor-Reihe einer Fourier-Transformation ist , dh \ begin {Gleichung} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partielle_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {Gleichung} Wenn man diese Reihe abschneidet und dann versucht, die inverse Fourier-Transformation durchzuführen,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ In einigen Fällen kann man feststellen, dass das Ergebnis als divergiert $k\to\infty$. In vielen Theorien und insbesondere in Feldtheorien gibt es jedoch einen oberen Grenzwert für$k$welches den Gültigkeitsbereich dieser Theorie bestimmt; Ein solcher Cutoff löst häufig die mögliche Divergenz der inversen Fourier-Transformation auf.

Frage Funktioniert der Positionsraum, der sich aus der inversen Transformation der abgeschnittenen Taylor-Reihe ergibt?$\hat{f}_{\rm trunc}$mit etwas Cutoff $\Lambda$, approximieren Sie die ursprüngliche Funktion$f(x)$in irgendeinem Sinne? Andernfalls gibt es einen systematischen Weg, um eine solche ungefähre Form aus ihrer Fourier-Transformation zu erhalten$\hat{f}(k)$?

Answer 1

Wenn Sie die Taylor-Erweiterung abschneiden $0$Sie sagen, dass Sie an Modi mit langer Wellenlänge interessiert sind. Dies sind oft die Modi, die langlebig sind, so dass sie für lange Zeit Ihr System ungefähr beschreiben. Im Geiste ist es wie eine Grobkörnung: Sie vergessen die schnelle mikroskopische Dynamik und behalten nur makroskopische Informationen bei. In einem strengeren Sinne hat man$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$Wenn also die Annäherung Ihrer Fourier-Transformation in der $L^2$ Sinn, so wird es die Annäherung des Positionsraums sein $f(x)$.