Äquivalenz von $\square_\kappa\Leftrightarrow\square'_\kappa$

Question

In Devlin - Konstruierbarkeit auf Seite 158f. er definiert$\square_\kappa$ und $\square_\kappa'$ und fährt dann fort zu zeigen, dass diese beiden äquivalent sind.

$\square_\kappa$ gilt, wenn es eine Sequenz gibt $(C_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\wedge\alpha\in\text{Lim})$ st

1. $C_\alpha$ ist ein Verein von $\alpha$,

2. $\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa\implies|C_\alpha|<\kappa$ und

3. wenn $\beta$ ist ein Grenzpunkt von $C_\alpha$, dann $C_\beta=\beta\cap C_\alpha$.

$\square_\kappa'$ gilt, wenn es eine Sequenz gibt $(B_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\wedge\alpha\in\text{Lim})$ st

1. $B_\alpha$ ist eine geschlossene Teilmenge von $\text{Lim}\cap\alpha$,

2. $\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\implies B_\alpha$ ist unbegrenzt in $\alpha$,

3. $\operatorname{otp}(B_\alpha)\leq\kappa$ und

4. $\beta\in B_\alpha\implies B_\beta=\beta\cap B_\alpha$

Vorausgesetzt, dass $(B_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\wedge\alpha\in\text{Lim})$ ist ein $\square_\kappa'$-sequenz definiert er induktiv

1. $C_\alpha=\bigcup\lbrace C_\gamma\mid \gamma\in B_\alpha\rbrace$, wenn $\sup B_\alpha=\alpha$

2. $C_\alpha=\bigcup\lbrace C_\gamma\mid \gamma\in B_\alpha\rbrace\cup\lbrace\theta_n^\alpha\mid n<\omega\rbrace$ sonst, wo die $\theta_n^\alpha$ sind streng steigend, größer als $\sup B_\alpha$und cofinal in $\alpha$.

Dann sagt er das wenn $\operatorname{otp}(C_\alpha)>\kappa$ dann $\operatorname{otp}(B_\alpha)>\kappa$ nur weil $B_\alpha$ ist die Menge aller Grenzpunkte von $C_\alpha$ unten $\alpha$ und weil $\kappa$ist unzählig. Warum ist$\operatorname{otp}(C_\alpha)=\kappa+\omega$ und $\operatorname{otp}(B_\alpha)=\kappa$nicht möglich? Vielleicht bin ich hier nur dumm.

Vielleicht ist es nützlich, den Rest des Beweises anzugeben, da es auch nicht mehr so ​​lange dauert.

Wenn $\kappa$ ist regelmäßig wir brauchen das $\operatorname{otp}(B_\alpha)\leq\kappa$, weil wir dann davon ausgehen können, dass es gleich ist und einen Widerspruch haben, seitdem, wenn $\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa$ dann $\operatorname{cf}(\kappa)\leq\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa$. (Vielleicht verwenden wir in diesem Fall

3'. $\operatorname{otp}(B_\alpha)\leq\kappa$ und wenn $\operatorname{cf} (\alpha)=\omega$ dann $\operatorname{otp}(B_\alpha)<\kappa$

anstelle von 3. in der ersten Definition.)

Im Singularfall definieren wir eine Sequenz $(C_\alpha'\mid\alpha<\kappa^+)$ folgendermaßen.

Lassen $(\theta_\nu\mid\nu<\operatorname{cf}(\kappa))$ eine streng ansteigende, kontinuierliche Folge von Grenzordinalen sein, die in cofinal ist $\kappa$. einstellen$\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)}=\kappa$. (Und ich denke man könnte setzen$\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+n}=\kappa+n$ für alle $n<\omega$ und $\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+\omega}=\kappa+\omega$) Nun lass

$C_\alpha'=\lbrace\gamma\in C_\alpha\mid\operatorname{otp}(C_\alpha\cap\gamma)\geq\theta_\nu\rbrace$,

Wenn da ein ... ist $\nu<\operatorname{cf}(\kappa)$ st $\theta_\nu<\operatorname{otp}(C_\alpha)\leq\theta_{\nu+1}$. Andernfalls$\operatorname{otp(C_\alpha)}=\theta_\nu$ für eine Grenze $\nu$, dann setzen wir

$C_\alpha'=\lbrace\gamma\in C_\alpha\mid(\exists\tau<\nu)\operatorname{otp}(C_\alpha\cap\gamma)=\theta_\tau\rbrace$

Dann $(C_\alpha'\mid\alpha<\kappa^+)$ ist ein $\square_\kappa'$-sequenz (und ich denke, das ist auch mit noch wahr $\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+n}$ und $\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+\omega}$ definiert).

Da benutzt Devlin nur $\square_\kappa'$ zu zeigen, dass $\square_\kappa$ hält in $L$Ich denke, dass es in Ordnung wäre, 3. von der Definition von zu ändern $\square_\kappa'$ im regulären Fall auf 3 ', weil wir in diesem Beweis Vereine bekommen $B_\alpha$ die Auftragsart haben $\leq\kappa$ und wenn $\kappa$ ist regelmäßig, dann sollten wir 3 'bekommen.

Meine Frage ist, ist hier alles richtig?

Answer 1

Wenn $\operatorname{otp}(C_\alpha)=\kappa+\omega$, dann $\operatorname{otp}(\operatorname{acc}(C_\alpha))=\kappa+1$ und $\operatorname{acc}(C_\alpha)=B_\alpha$. Ich denke also, was Devlin gesagt hat, ist wahr.