Auf normalen Suslin-Bäumen

Question

Ich lese Jechs Buch "Set Theory" genau in dem Teil über Suslin-Bäume. In Lemma 9.13 beweist er, dass es einen normalen Suslin-Baum gibt, wenn es einen Suslin-Baum gibt.

Wenn $T$ ist ein normaler Baum der Höhe $\alpha$dann erfüllt es insbesondere das

Für jeden $x\in T$ und $height(x)<\beta<\alpha$gibt es $y>x$ so dass $height(y)=\beta$.

Aber es scheint mir nur seltsam, weil diese Eigenschaft durch transfinite Induktion die Existenz einer Kette mit der gleichen Höhe von zu implizieren scheint $T$. Aber wenn dies wahr ist, sollte es keine normalen Suslin-Bäume sein, da jeder Suslin-Baum Höhe hat$\omega_1$und keine unzähligen Ketten. Was fehlt mir hier?

Answer 1

Ihnen fehlen die Grenzstufen. Sicher, wenn ein Zweig die Länge eines Nachfolgers hat (dh ein maximales Element hat), können Sie ihn für jedes Level für Level erweitern$\omega$Weitere Schritte, aber woher weißt du, dass es danach weitergeht? Für jeden Knoten in der Verzweigung befindet sich auf der nächsten Grenzstufe ein Knoten darüber. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Sie sagen können, dass sich über der gesamten Verzweigung ein Knoten befindet.

Für ein konkreteres Beispiel eines Baumes mit Höhe $\omega_1$ und diese Eigenschaft, hat aber keinen Zweig der Länge $\omega_1$Betrachten Sie den Funktionsbaum von zählbaren Ordnungszahlen bis $\omega$ das sind eins zu eins und haben eine unendliche Reichweite.