Auswerten $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

Bewerten $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

einstellen $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

So wird Integral $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

einstellen $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, damit $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ und $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

Aber die richtige Antwort ist $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

Kann mir jemand zeigen, wo mein Fehler liegt und wie ich das Problem besser lösen kann? Vielen Dank!

Answer 1

Es gibt keinen Fehler. $C$ ist eine beliebige Konstante und $-\frac 3 2+C$ ist nur eine weitere Konstante $C'$. Und es gibt keinen besseren Weg, um diese Frage zu beantworten.

Answer 2

Alternative Methode

Erwägen, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Neuordnung, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Wenn Sie also beide Seiten integrieren, erhalten Sie die Antwort

Answer 3

Ihre Lösung ist korrekt, da eine Konstante plus eine andere Konstante durch eine andere Konstante dargestellt werden kann $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

Alternativ können Sie nach Teilen integrieren und vermieten $u=\ln(2x+3)$ und $dv=dx$. Dann$du=\frac{2}{2x+3}$ und wir können nehmen $v=x+\frac{3}{2}$. Es folgt dem\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} wie erwartet!