Axiomatisierung der Physik
Ich studiere mathematische Physik und leide oft unter der Tatsache, dass "große Theorien" in der Physik niemals explizite Axiome (Quantenmechanik, QFT, GR, ...) oder zumindest grundlegende strenge Prinzipien haben.
Ich spreche nicht von der Tatsache, dass die Physik die reale Welt beschreiben soll, sondern von der Tatsache, dass die verwendeten mathematischen Modelle oft nicht genau definiert sind (zumindest nach meinem tatsächlichen Wissen).
Ist das wirklich der Fall? Gibt es einen Bereich der Mathematik, der darauf abzielt, einige physikalische Modelle zu axiomatisieren? Könnten Sie etwas Literatur empfehlen?
Antworten
Dies ist alles andere als eine vollständige Antwort, aber es zeigt die grundlegende Tatsache, dass eine solche Axiomatisierung in Arbeit ist.
Ein Millennium-Preis-Problem fordert uns auf zu beweisen, dass jede kompakte einfache Messgruppe mit einer bestimmten Theorie verbunden ist, die für Physiker von großem Interesse wäre. Wenn Sie diesen Artikel lesen, erfahren Sie mehr über die Wightman-Axiome , die eine von mehreren Möglichkeiten für Axiome darstellen, die eine solche Theorie erfüllen sollte. Wir sind uns nicht ganz sicher, welche Axiome eine vernünftige Wahl sind. Wenn das Problem jemals gelöst wird, müssen Sie wahrscheinlich sagen: "Lassen Sie uns stattdessen mit dieser Liste von Axiomen fortfahren."
Warum ist die Physik in dieser Situation? Ich werde nur einen Faktor erwähnen, der dazu beiträgt.
Wenn eine physikalische Theorie entweder mit empirischen Beweisen, einem Gedankenexperiment oder einer Berechnung für ein ernstes Problem gezeigt wird, patchen Physiker sie, um dieses Problem anzugehen. Mathematiker sind im Allgemeinen nicht mit der Notwendigkeit vertraut, dies zu tun. Sie sollten es wohl sein , aber nur im historischen Sinne; Heutzutage ist "Verwenden Sie diese Axiome und Sie werden in Ordnung sein, und egal, welche Fehlstarts bevor wir dort ankommen" ein Standardansatz im Mathematikunterricht für Studenten oder höhere Studenten. Wenn Physiker ihre Axiome "kompromittieren" müssen (wenn sie überhaupt in diesen Begriffen darüber nachdenken; um fair zu sein, hat die Mathematik selbst trotz Euklids Einfluss vor 1900 größtenteils nicht funktioniert), ist es so, als ob Russells Paradoxon Mathematiker zum Flicken gezwungen hätte Mengenlehre. Wie man es patcht, war seitdem Gegenstand einiger Kontroversen!
Mathematische Theorien haben oft gleichwertige Wahlmöglichkeiten für ihre Axiome, so dass die Verwendung davon abhängt, was in Ihrem Kontext zweckmäßig ist, insbesondere vom Standpunkt der Pädagogik. In der Physik verstärkt die Art und Weise, wie Probleme das Thema historisch entwickeln, dieses Problem. Stellen wir uns für eine Sekunde vor, es sei 1800, also sind Elektromagnetismus, spezielle Relativitätstheorie, Quantenmechanik usw. kein Problem. Verwenden Sie Newtonsche, Lagrange-, Hamilton- oder Jacobi-Mechanik? Pferde für Kurse, aber sie sind gleichwertig. Wenn neue Physik hinzugefügt wird, müssen Sie häufig zwischen verschiedenen Standpunkten wechseln, um weitere Einblicke zu erhalten. Dies ist eine umständliche Analogie, aber wenn eine Auswahl von Axiomen wie eine Basis eines Vektorraums wäre, wäre es, als müssten Sie sich auf eine andere Basis drehen, um eine jetzt nützliche Perspektive zu erhalten.
Trotzdem denke ich, dass Sie interessiert sein werden, über bestimmte Beispiele der Axiomatisierung zu lesen, obwohl ich keine spezifischen Texte empfehle. Sie sollten über die Beispiele lesen, die ich bisher erwähnt habe, Haag-Kastler und Mach .
In der Mathematik beginnen Sie mit Axiomen. dann wählen Sie gute Definitionen und beweisen dann Theoreme. Im Allgemeinen ändert sich das Ergebnis nicht mit der Zeit.
In der Physik beginnen Sie mit Prinzipien. Anschließend überprüfen Sie das Ergebnis, das Sie anhand von Erfahrungen oder Tests vorhersagen können. In einigen Fällen müssen Sie das Prinzip ändern, wenn einige Erfahrungen zu unerwarteten Ergebnissen führen.
In der Philosophie beginnen Sie mit Postulaten. Aber jeder hat seine eigenen Postulate und Schlussfolgerungen.