Bedienernorm und Spektrum

Question

Ich frage mich, wann eine Operatornorm mit dem maximalen Eigenwert eines Operators übereinstimmt und es einen bestimmten Aspekt gibt, der mich ziemlich verwirrt.

Nehmen wir an, wir haben einen symmetrischen positiven kontinuierlichen linearen Operator $$ T : L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega) $$ mit maximalem Eigenwert $\lambda>0$ so dass $T u = \lambda u$ für eine Eigenfunktion $u\in L^2(\Omega)$. Dann (wenn ich es richtig verstehe) sollte es halten$$ \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$ Als nächstes nehmen wir an, dass der Operator einen Glättungseffekt hat, so dass $\mbox{image}(T) \subset H^1_0(\Omega)$ und das ist es auch $H^1$-kontinuierlich (ich denke an $T$als Umkehrung eines elliptischen Differentialoperators). In diesem Fall können wir den Operator als interpretieren$$ T : H^1_0(\Omega) \rightarrow H^1_0(\Omega) $$ Das Spektrum sollte unverändert bleiben, damit ich das denke $$ \lambda = \sup_{v \in H^1_0(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}}. $$ Allerdings ist die Aussage $$ \sup_{v \in H^1_0(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}} = \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$sieht für mich falsch aus. Ist es? Wenn ja, wo ist der Fehler in meinen Argumenten? Ich habe das Gefühl, hier ein sehr grundlegendes Missverständnis zu haben.

Answer 1

Der wichtigste Punkt hierbei ist, dass für einen Bediener $S$ auf einem Banach-Raum (oder Hilbert-Raum) $X$, die Nummer $\sup_{x \in X \setminus\{0\}} \frac{\|Sx\|}{\|x\|}$ ist nicht der spektrale Radius von $S$aber die Betreibernorm. Die Bedienernorm ist immer$\ge$ der spektrale Radius, aber wir können im Allgemeinen keine Gleichheit erwarten.

In einem Hilbert-Raum ist eine ausreichende Bedingung für die Gleichheit der Operatornorm und des Spektralradius, dass der Operator selbstadjunkt oder allgemeiner normal ist.

Aber wie in einem Kommentar von Mateusz Kwaśnicki ausgeführt, wenn $T$ ist selbst adjoint auf $L^2$Dies bedeutet nicht, dass $T$ ist selbst adjoint auf $H^1_0$ da sich das innere Produkt dort vom inneren Produkt unterscheidet $L^2$.

Hier ist ein konkretes Gegenbeispiel :

Lassen $\Omega = (0,2\pi)$ (ausgestattet mit dem nicht normalisierten Lebesgue-Maß) und definieren $z,v \in H^1_0 := H^1_0(\Omega)$ durch \begin{align*} z(x) & = \frac{|\sin(x)|}{\sqrt{\pi}}, \\ v(x) & = \sin(\frac{1}{2}x) \end{align*} für alle $x \in (0,2\pi)$.

Wir definieren den Operator $T$ auf $L^2$ durch $$ Tf = \langle f, z\rangle_{L^2} \cdot z $$ für alle $f \in L^2$. Dann$T$ ist ein selbsternannter Rang$1$ Projektion auf $L^2$ deren Norm und Spektralradius also gleich sind $1$. Klar, die Reichweite von$T$ ist eine Teilmenge von $H^1_0$.

Die Einschränkung von $T$ zu $H^1_0$ ist wieder eine Projektion ungleich Null und hat somit immer noch einen spektralen Radius $1$. Aber die Betreibernorm von$T$ auf $H^1_0$ ist streng größer als $1$. In der Tat haben wir$$ \|T\|_{H^1_0 \to H^1_0} \ge \frac{\|Tv\|_{H^1_0}}{\|v\|_{H^1_0}} = \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{45}\pi} > 1 $$ (Wir müssen einige Integrale berechnen, um die Gleichheit in der Mitte zu erhalten, aber die Berechnungen sind ziemlich einfach).

Dies beweist, dass die Betreibernormen von $T$ auf $L^2$ und weiter $H^1_0$ sind unterschiedlich, obwohl der spektrale Radius auf beiden Räumen ist $1$. Speziell,$T$ kann nicht selbstadjunkt (und nicht einmal normal) sein $H^1_0$.

EDIT: Eine zusätzliche Beobachtung. Während im obigen Beispiel die Gleichheit der Spektralradien in beiden Räumen aus der Tatsache folgt, dass$T$ fungiert als Projektion auf beide Räume, ich dachte, es könnte sich lohnen, darauf hinzuweisen, dass die Gleichheit der Spektralradien tatsächlich eine allgemeine Tatsache ist:

Vorschlag. (Gleichheit der Spektralradien) Sei$V,X$ komplexe Banach-Räume sein, so dass $V$ ist kontinuierlich eingebettet in $X$. Lassen$T: X \to X$ ein begrenzter linearer Operator sein, so dass $TX \subseteq V$. Dann der Spektralradius des Operators$T: X \to X$ fällt mit dem spektralen Radius der Restriktion zusammen $T|_V: V \to V$.

Beweis. Wir verwenden die Spektralradiusformel$$ (*) \qquad r(S) = \lim_{n \to \infty} \|S^n\|^{1/n} $$ das gilt für den spektralen Radius $r(S)$ jedes begrenzten linearen Operators $S$ auf einem komplexen Banachraum.

Für jede $n \in \mathbb{N}$ der Betreiber $(T|_V)^n = (T^n)|_V: V \to V$ faktorisiert als $$ V \hookrightarrow X \overset{T^{n-1}}{\longrightarrow} X \overset{T}{\longrightarrow} V, $$ also die Spektralradiusformel $(*)$ impliziert, dass $r(T|_V) \le r(T)$. Aber umgekehrt der Betreiber$T^n: X \to X$ faktorisiert als $$ X \overset{T}{\longrightarrow} V \overset{(T|_V)^{n-1}}{\longrightarrow} V \hookrightarrow X, $$ also die Spektralradiusformel $(*)$ impliziert auch das $r(T) \le r(T|_V)$. Dies beweist den Satz.

Anmerkung. Das Schöne an dem obigen Satz ist, dass er nicht auf Eigenwerten beruht, also keine Kompaktheitsannahme für den Operator$T$ wird gebraucht.