Bedingte Wahrscheinlichkeit: Problem mit einer Übung

Question

Ich versuche folgende Übung zu lösen:

In my town, it's rainy one third of the days. Given that it is rainy,
there will be heavy traffic with probability 1/2, and given that it is not rainy,
there will be heavy traffic with probability 1/4. If it's rainy and there is heavy traffic,
I arrive late for work with probability 1/2. On the other hand,
the probability of being late is reduced to 1/8 if it is not rainy and
there is no heavy traffic.
In other situations (rainy and no traffic, not rainy and traffic)
the probability of being late is 0.25

You pick a random day.

(a) What is the probability that it's not raining and there is heavy
traffic and I am not late?
(b) What is the probability that I am late?
(c) Given that I arrived late at work, what is the probability that it rained that day?

Also haben wir:

R: rain, H: heavy traffic, L: being late

$P(R)=\frac{1}{3}$,
$P(H|R)=\frac{1}{2}$, $P(H|R^c)=\frac{1}{4}$,
$P(L|H\cap R)=\frac{1}{2}$, $P(L|H^C\cap R^C)=\frac{1}{8}$, $P(L|H^C\cap R)=P(L|H\cap R^C)=\frac{1}{4}$

Ich habe die Fragen (a) und (b) gelöst und meine Ergebnisse sind die gleichen wie im Lösungsblatt:
$(a): P(L^C\cap H\cap R^C)=1/8 $
$(b): P(L)=11/48 $

Aber ich habe ein Problem mit der Frage (c). Mein Versuch, es zu lösen, sieht folgendermaßen aus:
$ P(R|L) = \frac{P(L|R)P(R)}{P(L)}$ (Bayes-Regel)
$ =[P(L|H\cap R)P(H\cap R) + P(L|H^C\cap R)P(H^C\cap R)]\frac{P(R)}{P(L)} $ (Gesamtwahrscheinlichkeit)
$ =[P(L|H\cap R)P(H|R)P(R) + P(L|H^C\cap R)P(H^C|R)P(R)]\frac{P(R)}{P(L)} $ $ =[P(L|H\cap R)P(H|R)P(R) + P(L|H^C\cap R)(1-P(H|R))P(R)]\frac{P(R)}{P(L)} $ $ =(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{3})\frac{1}{3}\frac{48}{11}=\frac{3}{24}\frac{1}{3}\frac{48}{11}=\frac{2}{11} $
Aber laut Lösungsblatt ist das richtige Ergebnis $\frac{6}{11}$. Wo habe ich den Fehler begangen? Ich bin ziemlich neu in der Wahrscheinlichkeit, daher habe ich nicht genug Erfahrung, um sie selbst zu finden. Vielen Dank im Voraus für deine Hilfe.

Answer 1

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit $$P(L)=P(L\mid H)P(H) + P(L\mid H^c)P(H^c)\tag1 $$arbeitet weiterhin im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Ein Gerät, mit dem Sie sich daran erinnern können, wie: Beim Konditionieren auf ein Ereignis$R$, schreiben $P(\cdot\mid R)$ in der Form $P_R(\cdot)$so dass die bedingte Wahrscheinlichkeit eher wie eine "traditionelle" Wahrscheinlichkeit aussieht. Darauf wenden Sie das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit an$P_R$:: $$P_R(L)=P_R(L\mid H)P_R(H) + P_R(L\mid H^c)P_R(H^c)\tag2$$ Übersetzen Sie jetzt zurück: $$P(L\mid R) = P(L\mid H\cap R)P(H\mid R) + P(L\mid H^c \cap R)P(H^c\mid R)\tag3 $$ Das ist die Form von @JMoravitz erhalten.

Beachten Sie, dass Sie (1) erhalten, wenn Sie das löschen $R$ist aus (3). Mit etwas Übung können Sie sich zersetzen$P(L\mid R)$ durch direktes Springen zu (3) ohne Zwischenschritt (2).

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Der Grund warum $P_R(L\mid H) = P(L\mid H\cap R)$:: $$ \begin{align} P_R(L\mid H)&\stackrel{(a)}=\frac{P_R(L\cap H)}{P_R(H)}\\ &\stackrel{(b)}=\frac{P(L\cap H\mid R)}{P(H\mid R)} =\frac{P(L\cap H\mid R)P(R)}{P(H\mid R)P(R)}\\ &\stackrel{(a)}=\frac{P(L\cap H\cap R)}{P(H\cap R)}\\ &\stackrel{(a)}=P(L\mid H\cap R)\\ \end{align} $$Schritt (a) ist die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit; Schritt (b) ist die Definition von$P_R(\cdot)$.